§11.prop.31#2καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΡΥΧΤ παραλληλόγραμμον τῷ ΩΤ παραλληλογράμμῳ·
そして、平行四辺形 ΡΥΧΤ は平行四辺形 ΩΤ に等しい。
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΡΤ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΡΤ, ΩΧ·
なぜなら、それらは同一の底面 ΡΤ の上にあり、かつ同一の平行線 ΡΤ, ΩΧ の間にあるからである。
ἀλλὰ τὸ ΡΥΧΤ τῷ ΓΔ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ τῷ ΑΒ, καὶ τὸ ΩΤ ἄρα παραλληλόγραμμον τῷ ΓΔ ἐστιν ἴσον.
しかし ΡΥΧΤ は ΓΔ に等しい。 ΑΒ にも等しいからである。 したがって、平行四辺形 ΩΤ も ΓΔ に等しい。
ἄλλο δὲ τὸ ΔΤ·
そして、別の平行四辺形 ΔΤ がある。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΔΤ, οὕτως ἡ ΩΤ πρὸς τὴν ΔΤ. καὶ ἐπεὶ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΓΙ ἐπιπέδῳ τῷ ΡΖ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔστιν ὡς ἡ ΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΔΤ βάσιν, οὕτως τὸ ΓΖ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ στερεόν.
したがって、底面 ΓΔ と ΔΤ に対する比は、 ΩΤ と ΔΤ に対する比に等しい。 そして、立体平行六面体 ΓΙ が対向する平面に平行な平面 ΡΖ によって切られているので、底面 ΓΔ と底面 ΔΤ との比は、立体 ΓΖ と立体 ΡΙ との比に等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δή, ἐπεὶ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΩΙ ἐπιπέδῳ τῷ ΡΨ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔστιν ὡς ἡ ΩΤ βάσις πρὸς τὴν ΤΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΩΨ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΔΤ, οὕτως ἡ ΩΤ πρὸς τὴν ΔΤ·
まったく同じ理由によって、立体平行六面体 ΩΙ が対向する平面に平行な平面 ΡΨ によって切られているので、底面 ΩΤ と底面 ΤΔ との比は、立体 ΩΨ と立体 ΡΙ との比に等しい。 しかし、底面 ΓΔ と ΔΤ との比は、 ΩΤ と ΔΤ との比に等しい。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΓΖ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ στερεόν, οὕτως τὸ ΩΨ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΓΖ, ΩΨ στερεῶν πρὸς τὸ ΡΙ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον·
したがって、立体 ΓΖ と立体 ΡΙ との比は、立体 ΩΨ と立体 ΡΙ との比に等しい。 したがって、立体 ΓΖ, ΩΨ のそれぞれは、立体 ΡΙ に対して同じ比をもつ。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΖ στερεὸν τῷ ΩΨ στερεῷ.
したがって、立体 ΓΖ は立体 ΩΨ に等しい。
ἀλλὰ τὸ ΩΨ τῷ ΑΕ ἐδείχθη ἴσον·
しかし、 ΩΨ は ΑΕ に等しいことが示された。
καὶ τὸ ΑΕ ἄρα τῷ ΓΖ ἐστιν ἴσον.
したがって、 ΑΕ も ΓΖ に等しい。
μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΑΗ, ΘΚ, ΒΕ, ΛΜ, ΓΝ, ΟΠ, ΔΖ, ΡΣ πρὸς ὀρθὰς ταῖς ΑΒ, ΓΔ βάσεσιν·
そこで次に、立ち上がる辺 ΑΗ, ΘΚ, ΒΕ, ΛΜ, ΓΝ, ΟΠ, ΔΖ, ΡΣ は底面 ΑΒ, ΓΔ に対して直角ではないとせよ。
λέγω πάλιν, ὅτι ἴσον τὸ ΑΕ στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ.
私は再び、立体 ΑΕ は立体 ΓΖ に等しいと主張する。
ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Κ, Ε, Η, Μ, Π, Ζ, Ν, Σ σημείων ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετοι αἱ ΚΞ, ΕΤ, ΗΥ, ΜΦ, ΠΧ, ΖΨ, ΝΩ, ΣΙ, καὶ συμβαλλέτωσαν τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ Ξ, Τ, Υ, Φ, Χ, Ψ, Ω, Ι σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΤ, ΞΥ, ΥΦ, ΤΦ, ΧΨ, ΧΩ, ΩΙ, ΙΨ. ἴσον δή ἐστι τὸ ΚΦ στερεὸν τῷ ΠΙ στερεῷ·
なぜなら、点 Κ, Ε, Η, Μ, Π, Ζ, Ν, Σ から置かれた平面に垂線 ΚΞ, ΕΤ, ΗΥ, ΜΦ, ΠΧ, ΖΨ, ΝΩ, ΣΙ が引かれたとせよ。 そしてそれらは、平面と点 Ξ, Τ, Υ, Φ, Χ, Ψ, Ω, Ι において交わるとせよ。 そして ΞΤ, ΞΥ, ΥΦ, ΤΦ, ΧΨ, ΧΩ, ΩΙ, ΙΨ が結ばれたとせよ。 そこで、立体 ΚΦ は立体 ΠΙ に等しい。
ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΚΜ, ΠΣ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι πρὸς ὀρθάς εἰσι ταῖς βάσεσιν.
なぜなら、それらは等しい底面 ΚΜ, ΠΣ の上にあり、かつ同じ高さをもっており、それらの立ち上がる辺は底面に対して直角だからである。
ἀλλὰ τὸ μὲν ΚΦ στερεὸν τῷ ΑΕ στερεῷ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΠΙ τῷ ΓΖ·
しかし、立体 ΚΦ は立体 ΑΕ に等しく、立体 ΠΙ は ΓΖ に等しい。
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὔκ εἰσιν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν.
なぜなら、それらは同一の底面の上にあり、かつ同じ高さをもっており、それらの立ち上がる辺は同一の直線上にはないからである。
καὶ τὸ ΑΕ ἄρα στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ ἐστιν ἴσον.
したがって、立体 ΑΕ も立体 ΓΖ に等しい。
τὰ ἄρα ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
したがって、等しい底面上にあり、かつ同じ高さをもつ立体平行六面体は、互いに等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。