§11.prop.31#2καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΡΥΧΤ παραλληλόγραμμον τῷ ΩΤ παραλληλογράμμῳ·
그리고 평행사변형 ΡΥΧΤ는 평행사변형 ΩΤ와 같다.
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΡΤ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΡΤ, ΩΧ·
왜냐하면 그것들은 동일한 밑면 ΡΤ 위에 있고 동일한 평행선 ΡΤ, ΩΧ 사이에 있기 때문이다.
ἀλλὰ τὸ ΡΥΧΤ τῷ ΓΔ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ τῷ ΑΒ, καὶ τὸ ΩΤ ἄρα παραλληλόγραμμον τῷ ΓΔ ἐστιν ἴσον.
그런데 ΡΥΧΤ는 ΓΔ와 같다. ΑΒ와도 같기 때문이다. 그러므로 평행사변형 ΩΤ도 ΓΔ와 같다.
ἄλλο δὲ τὸ ΔΤ·
그리고 다른 평행사변형 ΔΤ가 있다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΔΤ, οὕτως ἡ ΩΤ πρὸς τὴν ΔΤ. καὶ ἐπεὶ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΓΙ ἐπιπέδῳ τῷ ΡΖ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔστιν ὡς ἡ ΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΔΤ βάσιν, οὕτως τὸ ΓΖ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ στερεόν.
그러므로 밑면 ΓΔ 대 ΔΤ의 비는, ΩΤ 대 ΔΤ의 비와 같다. 그리고 입체 평행육면체 ΓΙ가 대향하는 평면들에 평행한 평면 ΡΖ에 의해 잘려 있으므로, 밑면 ΓΔ 대 밑면 ΔΤ의 비는, 입체 ΓΖ 대 입체 ΡΙ의 비와 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δή, ἐπεὶ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΩΙ ἐπιπέδῳ τῷ ΡΨ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔστιν ὡς ἡ ΩΤ βάσις πρὸς τὴν ΤΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΩΨ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΔΤ, οὕτως ἡ ΩΤ πρὸς τὴν ΔΤ·
똑같은 이유로, 입체 평행육면체 ΩΙ가 대향하는 평면들에 평행한 평면 ΡΨ에 의해 잘려 있으므로, 밑면 ΩΤ 대 밑면 ΤΔ의 비는, 입체 ΩΨ 대 입체 ΡΙ의 비와 같다. 그런데 밑면 ΓΔ 대 ΔΤ의 비는, ΩΤ 대 ΔΤ의 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΓΖ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ στερεόν, οὕτως τὸ ΩΨ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΓΖ, ΩΨ στερεῶν πρὸς τὸ ΡΙ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον·
그러므로 입체 ΓΖ 대 입체 ΡΙ의 비는, 입체 ΩΨ 대 입체 ΡΙ의 비와 같다. 그러므로 입체 ΓΖ, ΩΨ 각각은 입체 ΡΙ에 대하여 동일한 비를 가진다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΖ στερεὸν τῷ ΩΨ στερεῷ.
그러므로 입체 ΓΖ는 입체 ΩΨ와 같다.
ἀλλὰ τὸ ΩΨ τῷ ΑΕ ἐδείχθη ἴσον·
그런데 ΩΨ는 ΑΕ와 같음이 증명되었다.
καὶ τὸ ΑΕ ἄρα τῷ ΓΖ ἐστιν ἴσον.
그러므로 ΑΕ도 ΓΖ와 같다.
μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΑΗ, ΘΚ, ΒΕ, ΛΜ, ΓΝ, ΟΠ, ΔΖ, ΡΣ πρὸς ὀρθὰς ταῖς ΑΒ, ΓΔ βάσεσιν·
그러면 이제 기립선 ΑΗ, ΘΚ, ΒΕ, ΛΜ, ΓΝ, ΟΠ, ΔΖ, ΡΣ가 밑면 ΑΒ, ΓΔ에 대하여 수직이 아니라고 하자.
λέγω πάλιν, ὅτι ἴσον τὸ ΑΕ στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ.
나는 다시 입체 ΑΕ가 입체 ΓΖ와 같다고 주장한다.
ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Κ, Ε, Η, Μ, Π, Ζ, Ν, Σ σημείων ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετοι αἱ ΚΞ, ΕΤ, ΗΥ, ΜΦ, ΠΧ, ΖΨ, ΝΩ, ΣΙ, καὶ συμβαλλέτωσαν τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ Ξ, Τ, Υ, Φ, Χ, Ψ, Ω, Ι σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΤ, ΞΥ, ΥΦ, ΤΦ, ΧΨ, ΧΩ, ΩΙ, ΙΨ. ἴσον δή ἐστι τὸ ΚΦ στερεὸν τῷ ΠΙ στερεῷ·
왜냐하면 점 Κ, Ε, Η, Μ, Π, Ζ, Ν, Σ로부터 놓여 있는 평면 위에 수선 ΚΞ, ΕΤ, ΗΥ, ΜΦ, ΠΧ, ΖΨ, ΝΩ, ΣΙ가 그려졌다고 하자. 그리고 그것들이 평면과 점 Ξ, Τ, Υ, Φ, Χ, Ψ, Ω, Ι에서 만난다고 하자. 그리고 ΞΤ, ΞΥ, ΥΦ, ΤΦ, ΧΨ, ΧΩ, ΩΙ, ΙΨ가 연결되었다고 하자. 그러면 입체 ΚΦ는 입체 ΠΙ와 같다.
ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΚΜ, ΠΣ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι πρὸς ὀρθάς εἰσι ταῖς βάσεσιν.
왜냐하면 그것들은 등가인 밑면 ΚΜ, ΠΣ 위에 있고 높이가 같으며, 그것들의 기립선들은 밑면들에 대하여 수직이기 때문이다.
ἀλλὰ τὸ μὲν ΚΦ στερεὸν τῷ ΑΕ στερεῷ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΠΙ τῷ ΓΖ·
그런데 입체 ΚΦ는 입체 ΑΕ와 같고, 입체 ΠΙ는 ΓΖ와 같다.
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὔκ εἰσιν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν.
왜냐하면 그것들은 동일한 밑면 위에 있고 높이가 같으며, 그것들의 기립선들은 동일한 직선 위에 있지 않기 때문이다.
καὶ τὸ ΑΕ ἄρα στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ ἐστιν ἴσον.
그러므로 입체 ΑΕ도 입체 ΓΖ와 같다.
τὰ ἄρα ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
그러므로 등가인 밑면 위에 있고 높이가 같은 입체 평행육면체들은 서로 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.