§11.prop.32τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις.
同じ高さにある立体平行六面体は、互いにそれらの底面の比に等しい。
ἔστω ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΒ, ΓΔ·
同じ高さにある立体平行六面体 ΑΒ, ΓΔ があるとせよ。
λέγω, ὅτι τὰ ΑΒ, ΓΔ στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις, τουτέστιν ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΔ στερεόν.
私は、立体平行六面体 ΑΒ, ΓΔ は互いにそれらの底面の比に等しい、すなわち底面 ΑΕ と底面 ΓΖ との比は、立体 ΑΒ と立体 ΓΔ との比に等しい、と主張する。
παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΖΗ τῷ ΑΕ ἴσον τὸ ΖΘ, καὶ ἀπὸ βάσεως μὲν τῆς ΖΘ, ὕψους δὲ τοῦ αὐτοῦ τῷ ΓΔ στερεὸν παραλληλεπίπεδον συμπεπληρώσθω τὸ ΗΚ. ἴσον δή ἐστι τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΗΚ στερεῷ·
なぜなら、直線 ΖΗ に沿って、ΑΕ に等しい ΖΘ が適用されたとせよ。 そして底面 ΖΘ から、ΓΔ と同じ高さをもつ立体平行六面体 ΗΚ が完成されたとせよ。 そこで、立体 ΑΒ は立体 ΗΚ に等しい。
ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΑΕ, ΖΘ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος.
なぜなら、それらは等しい底面 ΑΕ, ΖΘ の上にあり、かつ同じ高さをもつからである。
καὶ ἐπεὶ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΓΚ ἐπιπέδῳ τῷ ΔΗ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΖ βάσις πρὸς τὴν ΖΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΔΘ στερεόν.
そして、立体平行六面体 ΓΚ が対向する平面に平行な平面 ΔΗ によって切られているので、したがって底面 ΓΖ と底面 ΖΘ との比は、立体 ΓΔ と立体 ΔΘ との比に等しい。
ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΘ βάσις τῇ ΑΕ βάσει, τὸ δὲ ΗΚ στερεὸν τῷ ΑΒ στερεῷ·
しかし、底面 ΖΘ は底面 ΑΕ に等しく、立体 ΗΚ は立体 ΑΒ に等しい。
ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΑΕ βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΔ στερεόν.
したがって、底面 ΑΕ と底面 ΓΖ との比も、立体 ΑΒ と立体 ΓΔ との比に等しい。
τὰ ἄρα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις·
したがって、同じ高さにある立体平行六面体は、互いにそれらの底面の比に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。