§11.prop.29τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
同一の底面上にあり、かつ同じ高さをもつ立体平行六面体で、それらの立ち上がる辺が同一の直線上にあるものは、互いに等しい。
ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΑΒ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΓΜ, ΓΝ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΑΗ, ΑΖ, ΛΜ, ΛΝ, ΓΔ, ΓΕ, ΒΘ, ΒΚ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν ἔστωσαν τῶν ΖΝ, ΔΚ·
同一の底面 ΑΒ の上に、同じ高さをもつ立体平行六面体 ΓΜ, ΓΝ があるとせよ。 それらの立ち上がる辺 ΑΗ, ΑΖ, ΛΜ, ΛΝ, ΓΔ, ΓΕ, ΒΘ, ΒΚ は同一の直線 ΖΝ, ΔΚ 上にあるとせよ。
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΜ στερεὸν τῷ ΓΝ στερεῷ.
私は、立体 ΓΜ は立体 ΓΝ に等しいと主張する。
ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΓΘ, ΓΚ, ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΔΘ, ΕΚ·
なぜなら、平行四辺形 ΓΘ, ΓΚ のそれぞれにおいて、 ΓΒ は ΔΘ, ΕΚ のそれぞれに等しい。
ὥστε καὶ ἡ ΔΘ τῇ ΕΚ ἐστιν ἴση.
したがって ΔΘ も ΕΚ に等しい。
κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΕΘ·
共通のものとして ΕΘ が引かれたとせよ。
λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΕ λοιπῇ τῇ ΘΚ ἐστιν ἴση.
したがって、残りの ΔΕ は残りの ΘΚ に等しい。
ὥστε καὶ τὸ μὲν ΔΓΕ τρίγωνον τῷ ΘΒΚ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, τὸ δὲ ΔΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΘΝ παραλληλογράμμῳ.
ゆえに、三角形 ΔΓΕ も三角形 ΘΒΚ に等しく、平行四辺形 ΔΗ も平行四辺形 ΘΝ に等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΖΗ τρίγωνον τῷ ΜΛΝ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
同じ理由によって、三角形 ΑΖΗ も三角形 ΜΛΝ に等しい。
ἔστι δὲ καὶ τὸ μὲν ΓΖ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΜ παραλληλογράμμῳ ἴσον, τὸ δὲ ΓΗ τῷ ΒΝ·
また、平行四辺形 ΓΖ も平行四辺形 ΒΜ に等しく、 ΓΗ も ΒΝ に等しい。
ἀπεναντίον γάρ·
なぜなら対向しているからである。
καὶ τὸ πρίσμα ἄρα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΑΖΗ, ΔΓΕ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΑΔ, ΔΗ, ΓΗ ἴσον ἐστὶ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΜΛΝ, ΘΒΚ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΒΜ, ΘΝ, ΒΝ. κοινὸν προσκείσθω τὸ στερεόν, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΗΕΘΜ·
したがって、2つの三角形 ΑΖΗ, ΔΓΕ と3つの平行四辺形 ΑΔ, ΔΗ, ΓΗ に囲まれた角柱は、2つの三角形 ΜΛΝ, ΘΒΚ と3つの平行四辺形 ΒΜ, ΘΝ, ΒΝ に囲まれた角柱に等しい。 共通のものとして、底面が平行四辺形 ΑΒ であり、それに対向する面が ΗΕΘΜ である立体が加えられたとせよ。
ὅλον ἄρα τὸ ΓΜ στερεὸν παραλληλεπίπεδον ὅλῳ τῷ ΓΝ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἴσον ἐστίν.
したがって、全体としての立体平行六面体 ΓΜ は、全体としての立体平行六面体 ΓΝ に等しい。
τὰ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
したがって、同一の底面上にあり、かつ同じ高さをもつ立体平行六面体で、それらの立ち上がる辺が同一の直線上にあるものは、互いに等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明しようと試めていたことであった。
§11.prop.30τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
同一の底面上にあり、かつ同じ高さをもつ立体平行六面体で、それらの立ち上がる辺が同一の直線上にないものは、互いに等しい。
ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΑΒ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΓΜ, ΓΝ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΑΖ, ΑΗ, ΛΜ, ΛΝ, ΓΔ, ΓΕ, ΒΘ, ΒΚ μὴ ἔστωσαν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν·
同一の底面 ΑΒ の上に、同じ高さをもつ立体平行六面体 ΓΜ, ΓΝ があるとせよ。 それらの立ち上がる辺 ΑΖ, ΑΗ, ΛΜ, ΛΝ, ΓΔ, ΓΕ, ΒΘ, ΒΚ は同一の直線上にないとせよ。
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΜ στερεὸν τῷ ΓΝ στερεῷ.
私は、立体 ΓΜ は立体 ΓΝ に等しいと主張する。
ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ αἱ ΝΚ, ΔΘ καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Ρ, καὶ ἔτι ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΖΜ, ΗΕ ἐπὶ τὰ Ο, Π, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΞ, ΛΟ, ΓΠ, ΒΡ. ἴσον δή ἐστι τὸ ΓΜ στερεόν, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΖΔΘΜ, τῷ ΓΟ στερεῷ, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΞΠΡΟ·
なぜなら、 ΝΚ, ΔΘ が延長されて、点 Ρ において互いに交わったとせよ。 そしてさらに、 ΖΜ, ΗΕ も点 Ο, Π まで延長され、 ΑΞ, ΛΟ, ΓΠ, ΒΡ が結ばれたとせよ。 そこで、底面が平行四辺形 ΑΓΒΛ で、それに対向する面が ΖΔΘΜ である立体 ΓΜ は、底面が平行四辺形 ΑΓΒΛ で、それに対向する面が ΞΠΡΟ である立体 ΓΟ に等しい。
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΑΓΒΛ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΑΖ, ΑΞ, ΛΜ, ΛΟ, ΓΔ, ΓΠ, ΒΘ, ΒΡ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν τῶν ΖΟ, ΔΡ. ἀλλὰ τὸ ΓΟ στερεόν, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΞΠΡΟ, ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΝ στερεῷ, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΗΕΚΝ·
なぜなら、それらは同一の底面 ΑΓΒΛ の上にあり、かつ同じ高さをもっており、それらの立ち上がる辺 ΑΖ, ΑΞ, ΛΜ, ΛΟ, ΓΔ, ΓΠ, ΒΘ, ΒΡ は同一の直線 ΖΟ, ΔΡ 上にあるからである。 しかし、底面が平行四辺形 ΑΓΒΛ で、それに対向する面が ΞΠΡΟ である立体 ΓΟ は、底面が平行四辺形 ΑΓΒΛ で、それに対向する面が ΗΕΚΝ である立体 ΓΝ に等しい。
ἐπί τε γὰρ πάλιν τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΑΓΒΛ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΑΗ, ΑΞ, ΓΕ, ΓΠ, ΛΝ, ΛΟ, ΒΚ, ΒΡ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν τῶν ΗΠ, ΝΡ. ὥστε καὶ τὸ ΓΜ στερεὸν ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΝ στερεῷ.
なぜなら、ふたたびそれらは同一の底面 ΑΓΒΛ の上にあり、かつ同じ高さをもっており、それらの立ち上がる辺 ΑΗ, ΑΞ, ΓΕ, ΓΠ, ΛΝ, ΛΟ, ΒΚ, ΒΡ は同一の直線 ΗΠ, ΝΡ 上にあるからである。 ゆえに立体 ΓΜ も立体 ΓΝ に等しい。
τὰ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
したがって、同一の底面上にあり、かつ同じ高さをもつ立体平行六面体で、それらの立ち上がる辺が同一の直線上にないものは、互いに等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明しようと試めていたことであった。