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에우클레이데스 · 기하학 원론 §11.prop.29-11.prop.30

밑면과 높이가 같은 평행육면체의 동등성

316개 구절 중 257번째 · 그리스어

요약

밑면과 높이가 같은 두 입체 평행육면체가 서로 같음을 증명하며, 기립선들이 동일한 직선 위에 있는 경우(명제 29)와 동일한 직선 위에 있지 않은 경우(명제 30)로 나누어 설명한다.

§11.prop.29τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
동일한 밑면 위에 있고 높이가 같으며, 기립선들이 동일한 직선 위에 있는 입체 평행육면체들은 서로 같다.
ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΑΒ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΓΜ, ΓΝ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΑΗ, ΑΖ, ΛΜ, ΛΝ, ΓΔ, ΓΕ, ΒΘ, ΒΚ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν ἔστωσαν τῶν ΖΝ, ΔΚ·
동일한 밑면 ΑΒ 위에 있고 높이가 같은 입체 평행육면체 ΓΜ, ΓΝ이 있다고 하자. 그리고 그것들의 기립선 ΑΗ, ΑΖ, ΛΜ, ΛΝ, ΓΔ, ΓΕ, ΒΘ, ΒΚ가 동일한 직선 ΖΝ, ΔΚ 위에 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΜ στερεὸν τῷ ΓΝ στερεῷ.
나는 입체 ΓΜ이 입체 ΓΝ과 같다고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΓΘ, ΓΚ, ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΔΘ, ΕΚ·
왜냐하면, ΓΘ, ΓΚ 각각이 평행사변형이므로, ΓΒ는 ΔΘ, ΕΚ 각각과 같다.
ὥστε καὶ ἡ ΔΘ τῇ ΕΚ ἐστιν ἴση.
따라서 ΔΘ도 ΕΚ와 같다.
κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΕΘ·
공통인 ΕΘ를 빼자.
λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΕ λοιπῇ τῇ ΘΚ ἐστιν ἴση.
그러므로 남은 ΔΕ는 남은 ΘΚ와 같다.
ὥστε καὶ τὸ μὲν ΔΓΕ τρίγωνον τῷ ΘΒΚ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, τὸ δὲ ΔΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΘΝ παραλληλογράμμῳ.
그리하여 삼각형 ΔΓΕ도 삼각형 ΘΒΚ와 같고, 평행사변형 ΔΗ도 평행사변형 ΘΝ과 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΖΗ τρίγωνον τῷ ΜΛΝ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
똑같은 이유로, 삼각형 ΑΖΗ도 삼각형 ΜΛΝ과 같다.
ἔστι δὲ καὶ τὸ μὲν ΓΖ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΜ παραλληλογράμμῳ ἴσον, τὸ δὲ ΓΗ τῷ ΒΝ·
또한 평행사변형 ΓΖ도 평행사변형 ΒΜ과 같고, ΓΗ는 ΒΝ과 같다.
ἀπεναντίον γάρ·
왜냐하면 서로 마주 보고 있기 때문이다.
καὶ τὸ πρίσμα ἄρα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΑΖΗ, ΔΓΕ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΑΔ, ΔΗ, ΓΗ ἴσον ἐστὶ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΜΛΝ, ΘΒΚ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΒΜ, ΘΝ, ΒΝ. κοινὸν προσκείσθω τὸ στερεόν, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΗΕΘΜ·
그러므로 두 삼각형 ΑΖΗ, ΔΓΕ와 세 평행사변형 ΑΔ, ΔΗ, ΓΗ에 의해 둘러싸인 각기둥은, 두 삼각형 ΜΛΝ, ΘΒΚ와 세 평행사변형 ΒΜ, ΘΝ, ΒΝ에 의해 둘러싸인 각기둥과 같다. 공통인 입체, 즉 밑면은 평행사변형 ΑΒ이고 마주 보는 면은 ΗΕΘΜ인 입체를 더하자.
ὅλον ἄρα τὸ ΓΜ στερεὸν παραλληλεπίπεδον ὅλῳ τῷ ΓΝ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἴσον ἐστίν.
그러므로 전체 입체 평행육면체 ΓΜ은 전체 입체 평행육면체 ΓΝ과 같다.
τὰ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
그러므로 동일한 밑면 위에 있고 높이가 같으며, 기립선들이 동일한 직선 위에 있는 입체 평행육면체들은 서로 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 일이었다.
§11.prop.30τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
동일한 밑면 위에 있고 높이가 같으며, 기립선들이 동일한 직선 위에 있지 않은 입체 평행육면체들은 서로 같다.
ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΑΒ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΓΜ, ΓΝ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΑΖ, ΑΗ, ΛΜ, ΛΝ, ΓΔ, ΓΕ, ΒΘ, ΒΚ μὴ ἔστωσαν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν·
동일한 밑면 ΑΒ 위에 있고 높이가 같은 입체 평행육면체 ΓΜ, ΓΝ이 있다고 하자. 그리고 그것들의 기립선 ΑΖ, ΑΗ, ΛΜ, ΛΝ, ΓΔ, ΓΕ, ΒΘ, ΒΚ가 동일한 직선 위에 있지 않다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΜ στερεὸν τῷ ΓΝ στερεῷ.
나는 입체 ΓΜ이 입체 ΓΝ과 같다고 주장한다.
ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ αἱ ΝΚ, ΔΘ καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Ρ, καὶ ἔτι ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΖΜ, ΗΕ ἐπὶ τὰ Ο, Π, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΞ, ΛΟ, ΓΠ, ΒΡ. ἴσον δή ἐστι τὸ ΓΜ στερεόν, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΖΔΘΜ, τῷ ΓΟ στερεῷ, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΞΠΡΟ·
왜냐하면, ΝΚ, ΔΘ를 연장하여 점 Ρ에서 서로 만나게 하고, 나아가 ΖΜ, ΗΕ도 점 Ο, Π까지 연장하며, ΑΞ, ΛΟ, ΓΠ, ΒΡ를 이었다고 하자. 이제 밑면은 평행사변형 ΑΓΒΛ이고 마주 보는 면은 ΖΔΘΜ인 입체 ΓΜ은, 밑면은 평행사변형 ΑΓΒΛ이고 마주 보는 면은 ΞΠΡΟ인 입체 ΓΟ와 같다.
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΑΓΒΛ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΑΖ, ΑΞ, ΛΜ, ΛΟ, ΓΔ, ΓΠ, ΒΘ, ΒΡ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν τῶν ΖΟ, ΔΡ. ἀλλὰ τὸ ΓΟ στερεόν, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΞΠΡΟ, ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΝ στερεῷ, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΗΕΚΝ·
왜냐하면 그것들은 동일한 밑면 ΑΓΒΛ 위에 있고 높이가 같으며, 그것들의 기립선 ΑΖ, ΑΞ, ΛΜ, ΛΟ, ΓΔ, ΓΠ, ΒΘ, ΒΡ가 동일한 직선 ΖΟ, ΔΡ 위에 있기 때문이다. 그런데 밑면이 평행사변형 ΑΓΒΛ이고 마주 보는 면이 ΞΠΡΟ인 입체 ΓΟ는, 밑면이 평행사변형 ΑΓΒΛ이고 마주 보는 면이 ΗΕΚΝ인 입체 ΓΝ과 같다.
ἐπί τε γὰρ πάλιν τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΑΓΒΛ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΑΗ, ΑΞ, ΓΕ, ΓΠ, ΛΝ, ΛΟ, ΒΚ, ΒΡ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν τῶν ΗΠ, ΝΡ. ὥστε καὶ τὸ ΓΜ στερεὸν ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΝ στερεῷ.
왜냐하면 다시 그것들은 동일한 밑면 ΑΓΒΛ 위에 있고 높이가 같으며, 그것들의 기립선 ΑΗ, ΑΞ, ΓΕ, ΓΠ, ΛΝ, ΛΟ, ΒΚ, ΒΡ가 동일한 직선 ΗΠ, ΝΡ 위에 있기 때문이다. 따라서 입체 ΓΜ도 입체 ΓΝ과 같다.
τὰ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
그러므로 동일한 밑면 위에 있고 높이가 같으며, 기립선들이 동일한 직선 위에 있지 않은 입체 평행육면체들은 서로 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 일이었다.

어휘·문법 주석

  1. prop.29ὧν αἱ ἐφεστῶσαι ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν — 관계대명사 ὧν은 중성 복수 속격으로, 주절의 주어인 τὰ ... στερεὰ παραλληλεπίπεδα를 선행사로 취하며 소유 관계('그 입체 평행육면체들의')를 나타낸다. αἱ ἐφεστῶσαι는 '일어서다, 직립하다'를 뜻하는 동사 ἐφίστημι의 완료 능동 분사 여성 복수 주격으로, 여기서는 실질적으로 '기립선' 또는 '모서리'를 명사적으로 지칭하는 주어로 기능한다.
  2. prop.29κοινὸν προσκείσθω τὸ στερεόν, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΗΕΘΜ· — 관계대명사 οὗ(중성 단수 속격)는 바로 앞의 τὸ στερεόν, 선행사로 삼는 소유의 속격이다. 관계절 내에서는 대조를 나타내는 소사 μὲν... δέ...에 호응하여 연결 동사 ἐστί(또는 그에 해당하는 형태)가 생략되어 있으므로, 구조상 οὗ [ἐστι] βάσις μὲν τὸ ΑΒ ... [ἐστι] δὲ τὸ ΗΕΘΜ· 같이 보충하여 이해해야 한다.
  3. prop.30ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΑΓΒΛ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος — 병렬 소사 τε... καί...에 의해 서로 다른 격을 지배하는 두 전치사구가 병치되어 있다. 전자는 장소를 나타내는 ἐπί + 속격(τῆς αὐτῆς βάσεως)이고, 후자는 상태나 속성을 나타내는 ὑπό + 대격(τὸ αὐτὸ ὕψος)이며, 이들은 공통의 연결 동사 εἰσιν 술어적 보어로서 문법상 동일한 자격으로 주어에 걸린다.

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