§11.prop.26πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῇ δοθείσῃ στερεᾷ γωνίᾳ ἴσην στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι.
与えられた直線と、その上にある与えられた点において、与えられた立体角に等しい立体角を作ること。
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ πρὸς αὐτῇ δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ δ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ὑπὸ ΕΔΓ, ΕΔΖ, ΖΔΓ γωνιῶν ἐπιπέδων·
与えられた直線を ΑΒ、その上の与えられた点を Α、与えられた立体角を、 Δ において角 ΕΔΓ, ΕΔΖ, ΖΔΓ という平面角に囲まれたものとせよ。
δεῖ δὴ πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Δ στερεᾷ γωνίᾳ ἴσην στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι.
そこで、直線 ΑΒ とその上の点 Α において、 Δ における立体角に等しい立体角を作ることが必要である。
εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΔΖ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΕΔ, ΔΓ ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΖΗ, καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΗ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ μὲν ὑπὸ ΕΔΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΛ, τῇ δὲ ὑπὸ ΕΔΗ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΚ, καὶ κείσθω τῇ ΔΗ ἴση ἡ ΑΚ, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Κ σημείου τῷ διὰ τῶν ΒΑΛ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΚΘ, καὶ κείσθω ἴση τῇ ΗΖ ἡ ΚΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΑ·
なぜなら、 ΔΖ 上に任意の点 Ζ が取られたとせよ。 そして Ζ から ΕΔ, ΔΓ を通る平面へ垂線 ΖΗ が引かれ、それがその平面と Η において交わるとせよ。 そして ΔΗ が結ばれたとせよ。 そして、直線 ΑΒ とその上の点 Α において、角 ΕΔΓ に等しい角 ΒΑΛ が、また角 ΕΔΗ に等しい角 ΒΑΚ が作られたとせよ。 そして ΔΗ に等しい ΑΚ が置かれ、点 Κ から ΒΑΛ を通る平面に対して垂直に ΚΘ が立てられ、ΗΖ に等しい ΚΘ が置かれ、ΘΑ が結ばれたとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ πρὸς τῷ Α στερεὰ γωνία περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΒΑΛ, ΒΑΘ, ΘΑΛ γωνιῶν ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Δ στερεᾷ γωνίᾳ τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν ΕΔΓ, ΕΔΖ, ΖΔΓ γωνιῶν.
私は、 ΒΑΛ, ΒΑΘ, ΘΑΛ という角に囲まれた Α における立体角が、 ΕΔΓ, ΕΔΖ, ΖΔΓ という角に囲まれた Δ における立体角に等しいと主張する。
Ἀπειλήφθωσαν γὰρ ἴσαι αἱ ΑΒ, ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΒ, ΚΒ, ΖΕ, ΗΕ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΗ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας·
なぜなら、等しい ΑΒ, ΔΕ が切り取られ、ΘΒ, ΚΒ, ΖΕ, ΗΕ が結ばれたとせよ。 そして、 ΖΗ は下にある平面に対して垂直であるから、したがって、それに接しかつ下にある平面内にあるすべての直線とも直角を成すであろう。
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΖΗΔ, ΖΗΕ γωνιῶν.
したがって、角 ΖΗΔ, ΖΗΕ のそれぞれは直角である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΘΚΑ, ΘΚΒ γωνιῶν ὀρθή ἐστιν.
同じ理由によって、角 ΘΚΑ, ΘΚΒ のそれぞれも直角である。
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΚΑ, ΑΒ δύο ταῖς ΗΔ, ΔΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΚΒ βάσει τῇ ΗΕ ἴση ἐστίν.
そして、2つの直線 ΚΑ, ΑΒ は2つの直線 ΗΔ, ΔΕ にそれぞれ等しく、かつ等しい角を囲んでいるから、したがって底辺 ΚΒ は底辺 ΗΕ に等しい。
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΚΘ τῇ ΗΖ ἴση·
また ΚΘ も ΗΖ に等しく、かつそれらは直角を囲んでいる。
καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν·
したがって ΘΒ も ΖΕ に等しい。
ἴση ἄρα καὶ ἡ ΘΒ τῇ ΖΕ. πάλιν ἐπεὶ δύο αἱ ΑΚ, ΚΘ δυσὶ ταῖς ΔΗ, ΗΖ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΖΔ ἴση ἐστίν.
さらに、2つの直線 ΑΚ, ΚΘ は2つの直線 ΔΗ, ΗΖ に等しく、かつ直角を囲んでいるから、したがって底辺 ΑΘ は底辺 ΖΔ に等しい。
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ ἴση·
また ΑΒ も ΔΕ に等しい。
δύο δὴ αἱ ΘΑ, ΑΒ δύο ταῖς ΔΖ, ΔΕ ἴσαι εἰσίν.
したがって、2つの直線 ΘΑ, ΑΒ は2つの直線 ΔΖ, ΔΕ に等しい。
καὶ βάσις ἡ ΘΒ βάσει τῇ ΖΕ ἴση·
そして底辺 ΘΒ は底辺 ΖΕ に等しい。
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση.
したがって角 ΒΑΘ は角 ΕΔΖ に等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΑΛ τῇ ὑπὸ ΖΔΓ ἐστιν ἴση.
同じ理由によって、角 ΘΑΛ も角 ΖΔΓ に等しい。
ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΛ τῇ ὑπὸ ΕΔΓ ἴση.
そして角 ΒΑΛ も角 ΕΔΓ に等しい。
πρὸς ἄρα τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ στερεᾷ γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Δ ἴση συνέσταται·
したがって、与えられた直線 ΑΒ とその上の点 Α において、与えられた Δ における立体角に等しい立体角が作られた。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これが作図しようと試めていたことであった。