§11.prop.26πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῇ δοθείσῃ στερεᾷ γωνίᾳ ἴσην στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι.
주어진 직선과 그 위의 주어진 점에서, 주어진 입체각과 같은 입체각을 작도하는 것.
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ πρὸς αὐτῇ δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ δ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ὑπὸ ΕΔΓ, ΕΔΖ, ΖΔΓ γωνιῶν ἐπιπέδων·
주어진 직선을 ΑΒ, 그 위의 주어진 점을 Α, 주어진 입체각을 Δ에 있고 평면각 ΕΔΓ, ΕΔΖ, ΖΔΓ에 의해 둘러싸인 것이라 하자.
δεῖ δὴ πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Δ στερεᾷ γωνίᾳ ἴσην στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι.
이제 직선 ΑΒ와 그 위의 점 Α에서 Δ에 있는 입체각과 같은 입체각을 작도해야 한다.
εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΔΖ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΕΔ, ΔΓ ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΖΗ, καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΗ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ μὲν ὑπὸ ΕΔΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΛ, τῇ δὲ ὑπὸ ΕΔΗ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΚ, καὶ κείσθω τῇ ΔΗ ἴση ἡ ΑΚ, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Κ σημείου τῷ διὰ τῶν ΒΑΛ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΚΘ, καὶ κείσθω ἴση τῇ ΗΖ ἡ ΚΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΑ·
왜냐하면, ΔΖ 위에 임의의 점 Ζ를 취하고, Ζ에서 ΕΔ, ΔΓ를 지나는 평면으로 수선 ΖΗ를 긋고, 그것이 평면과 Η에서 만나게 하며, ΔΗ를 잇자. 그리고 직선 ΑΒ와 그 위의 점 Α에서 각 ΕΔΓ와 같은 각 ΒΑΛ이, 각 ΕΔΗ와 같은 각 ΒΑΚ가 작도되게 하고, ΔΗ와 같은 ΑΚ를 놓고, 점 Κ에서 ΒΑΛ을 지나는 평면에 수직으로 ΚΘ를 세우며, ΗΖ와 같은 ΚΘ를 놓고, ΘΑ를 잇자.
λέγω, ὅτι ἡ πρὸς τῷ Α στερεὰ γωνία περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΒΑΛ, ΒΑΘ, ΘΑΛ γωνιῶν ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Δ στερεᾷ γωνίᾳ τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν ΕΔΓ, ΕΔΖ, ΖΔΓ γωνιῶν.
나는 ΒΑΛ, ΒΑΘ, ΘΑΛ 각들에 의해 둘러싸인 Α에서의 입체각이, ΕΔΓ, ΕΔΖ, ΖΔΓ 각들에 의해 둘러싸인 Δ에서의 입체각과 같다고 주장한다.
Ἀπειλήφθωσαν γὰρ ἴσαι αἱ ΑΒ, ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΒ, ΚΒ, ΖΕ, ΗΕ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΗ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας·
왜냐하면, 서로 같은 ΑΒ, ΔΕ를 잘라내고, ΘΒ, ΚΒ, ΖΕ, ΗΕ를 잇자. 그리고 ΖΗ는 놓여 있는 평면에 수직이므로, 따라서 그것과 만나고 놓여 있는 평면 위에 있는 모든 직선과도 직각을 이룰 것이다.
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΖΗΔ, ΖΗΕ γωνιῶν.
그러므로 각 ΖΗΔ, ΖΗΕ 각각은 직각이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΘΚΑ, ΘΚΒ γωνιῶν ὀρθή ἐστιν.
똑같은 이유로 각 ΘΚΑ, ΘΚΒ 각각도 직각이다.
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΚΑ, ΑΒ δύο ταῖς ΗΔ, ΔΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΚΒ βάσει τῇ ΗΕ ἴση ἐστίν.
그리고 두 직선 ΚΑ, ΑΒ는 두 직선 ΗΔ, ΔΕ와 각각 같고, 같은 각을 둘러싸고 있으므로, 따라서 밑변 ΚΒ는 밑변 ΗΕ와 같다.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΚΘ τῇ ΗΖ ἴση· καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν·
또한 ΚΘ도 ΗΖ와 같고, 그것들은 직각을 둘러싸고 있다.
ἴση ἄρα καὶ ἡ ΘΒ τῇ ΖΕ. πάλιν ἐπεὶ δύο αἱ ΑΚ, ΚΘ δυσὶ ταῖς ΔΗ, ΗΖ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΖΔ ἴση ἐστίν.
그러므로 ΘΒ도 ΖΕ와 같다. 다시, 두 직선 ΑΚ, ΚΘ는 두 직선 ΔΗ, ΗΖ와 같고 직각을 둘러싸고 있으므로, 따라서 밑변 ΑΘ는 밑변 ΖΔ와 같다.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ ἴση·
또한 ΑΒ도 ΔΕ와 같다.
δύο δὴ αἱ ΘΑ, ΑΒ δύο ταῖς ΔΖ, ΔΕ ἴσαι εἰσίν.
그러므로 두 직선 ΘΑ, ΑΒ는 두 직선 ΔΖ, ΔΕ와 같다.
καὶ βάσις ἡ ΘΒ βάσει τῇ ΖΕ ἴση·
그리고 밑변 ΘΒ는 밑변 ΖΕ와 같다.
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση.
그러므로 각 ΒΑΘ는 각 ΕΔΖ와 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΑΛ τῇ ὑπὸ ΖΔΓ ἐστιν ἴση.
똑같은 이유로 각 ΘΑΛ도 각 ΖΔΓ와 같다.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΛ τῇ ὑπὸ ΕΔΓ ἴση.
또한 각 ΒΑΛ도 각 ΕΔΓ와 같다.
πρὸς ἄρα τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ στερεᾷ γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Δ ἴση συνέσταται·
그러므로 주어진 직선 ΑΒ와 그 위의 점 Α에서, 주어진 Δ에서의 입체각과 같은 입체각이 작도되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 작도하고자 했던 일이었다.