§11.prop.22ἐὰν ὦσι τρεῖς γωνίαι ἐπίπεδοι, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, περιέχωσι δὲ αὐτὰς ἴσαι εὐθεῖαι, δυνατόν ἐστιν ἐκ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰς ἴσας εὐθείας τρίγωνον συστήσασθαι.
もし3つの平面角があり、それらのうちの任意の2つは、どのように組み合わせても、残りの1つより大きく、また等しい直線がそれらを挟んでいるならば、それらの等しい直線を結ぶ直線から三角形を構成することが可能である。
ἔστωσαν τρεῖς γωνίαι ἐπίπεδοι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, αἱ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ τῆς ὑπὸ ΗΘΚ, αἱ δὲ ὑπὸ ΔΕΖ, ΗΘΚ τῆς ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ ἔτι αἱ ὑπὸ ΗΘΚ, ΑΒΓ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ εὐθεῖαι, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ·
3つの平面角を ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ とせよ。 それらのうちの任意の2つは、どのように組み合わせても、残りの1つより大きい、すなわち角 ΑΒΓ, ΔΕΖ は角 ΗΘΚ より大きく、角 ΔΕΖ, ΗΘΚ は角 ΑΒΓ より大きく、さらに角 ΗΘΚ, ΑΒΓ は角 ΔΕΖ より大きいとせよ。 そして直線 ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ は等しいとし、 ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ が結ばれたとせよ。
λέγω, ὅτι δυνατόν ἐστιν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι, τουτέστιν ὅτι τῶν ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν.
私は、 ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ に等しい直線から三角形を構成することが可能である、すなわち ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ のうちの任意の2つが残りの1つより大きいと主張する。
εἰ μὲν οὖν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, φανερόν, ὅτι καὶ τῶν ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ ἴσων γινομένων δυνατόν ἐστιν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι.
もしそれゆえ、角 ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ が互いに等しいならば、 ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ もまた等しくなるので、 ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ に等しい直線から三角形を構成することが可能であることは明らかである。
εἰ δὲ οὔ, ἔστωσαν ἄνισοι, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΘΚ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Θ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΘΛ· καὶ κείσθω μιᾷ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ ἴση ἡ ΘΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΛ, ΗΛ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΚΘ, ΘΛ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Β γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΘΛ ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΚΛ ἴση.
しかしそうでないならば、それらは不等であるとせよ。 そして直線 ΘΚ とその上の点 Θ に対して、角 ΑΒΓ に等しい角 ΚΘΛ が作られ、 ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ のうちの1つに等しい ΘΛ が置かれ、 ΚΛ, ΗΛ が結ばれたとせよ。 そして、2つの辺 ΑΒ, ΒΓ は2つの辺 ΚΘ, ΘΛ に等しく、Βにおける角は角 ΚΘΛ に等しいから、したがって、底辺 ΑΓ は底辺 ΚΛ に等しい。
καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΗΘΚ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΚΘΛ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΗΘΛ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ μείζων ἐστίν.
そして、角 ΑΒΓ, ΗΘΚ は角 ΔΕΖ より大きく、角 ΑΒΓ は角 ΚΘΛ に等しいから、したがって角 ΗΘΛ は角 ΔΕΖ より大きい。
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΗΘ, ΘΛ δύο ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΘΛ γωνίας τῆς ὑπὸ ΔΕΖ μείζων, βάσις ἄρα ἡ ΗΛ βάσεως τῆς ΔΖ μείζων ἐστίν.
そして、2つの辺 ΗΘ, ΘΛ は2つの辺 ΔΕ, ΕΖ に等しく、角 ΗΘΛ は角 ΔΕΖ より大きいから、したがって底辺 ΗΛ は底辺 ΔΖ より大きい。
ἀλλὰ αἱ ΗΚ, ΚΛ τῆς ΗΛ μείζονές εἰσιν.
ところが、 ΗΚ, ΚΛ は ΗΛ より大きい。
πολλῷ ἄρα αἱ ΗΚ, ΚΛ τῆς ΔΖ μείζονές εἰσιν.
したがって、 ΗΚ, ΚΛ は ΔΖ よりはるかに大きい。
ἴση δὲ ἡ ΚΛ τῇ ΑΓ·
そして ΚΛ は ΑΓ に等しい。
αἱ ΑΓ, ΗΚ ἄρα τῆς λοιπῆς τῆς ΔΖ μείζονές εἰσιν.
したがって、 ΑΓ, ΗΚ は残りの ΔΖ より大きい。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ μὲν ΑΓ, ΔΖ τῆς ΗΚ μείζονές εἰσιν, καὶ ἔτι αἱ ΔΖ, ΗΚ τῆς ΑΓ μείζονές εἰσιν.
同様にして、 ΑΓ, ΔΖ も ΗΚ より大きく、さらに ΔΖ, ΗΚ も ΑΓ より大きいことが示されるであろう。
δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι·
したがって、 ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ に等しい直線から三角形を構成することが可能である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。