§11.prop.22ἐὰν ὦσι τρεῖς γωνίαι ἐπίπεδοι, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, περιέχωσι δὲ αὐτὰς ἴσαι εὐθεῖαι, δυνατόν ἐστιν ἐκ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰς ἴσας εὐθείας τρίγωνον συστήσασθαι.
만약 세 평면각이 있고, 그것들 중 임의의 둘이 어떻게 결합하더라도 남은 하나보다 크며, 또한 같은 직선들이 그것들을 둘러싸고 있다면, 그 같은 직선들을 잇는 직선들로부터 삼각형을 구성하는 것이 가능하다.
ἔστωσαν τρεῖς γωνίαι ἐπίπεδοι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, αἱ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ τῆς ὑπὸ ΗΘΚ, αἱ δὲ ὑπὸ ΔΕΖ, ΗΘΚ τῆς ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ ἔτι αἱ ὑπὸ ΗΘΚ, ΑΒΓ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ εὐθεῖαι, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ·
세 평면각을 ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ라 하자. 그것들 중 임의의 둘은 어떻게 결합하더라도 남은 하나보다 크다. 즉, 각 ΑΒΓ, ΔΕΖ는 각 ΗΘΚ보다 크고, 각 ΔΕΖ, ΗΘΚ는 각 ΑΒΓ보다 크며, 더욱이 각 ΗΘΚ, ΑΒΓ는 각 ΔΕΖ보다 크다고 하자. 그리고 직선 ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ는 서로 같다고 하고, ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ를 잇자.
λέγω, ὅτι δυνατόν ἐστιν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι, τουτέστιν ὅτι τῶν ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν.
나는 ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ와 같은 직선들로부터 삼각형을 구성하는 것이 가능하다, 즉 ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ 중 임의의 둘이 남은 하나보다 크다고 주장한다.
εἰ μὲν οὖν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, φανερόν, ὅτι καὶ τῶν ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ ἴσων γινομένων δυνατόν ἐστιν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι.
그러므로 만약 각 ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ가 서로 같다면, ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ도 서로 같아지므로, ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ와 같은 직선들로부터 삼각형을 구성하는 것이 가능하다는 것은 명백하다.
εἰ δὲ οὔ, ἔστωσαν ἄνισοι, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΘΚ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Θ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΘΛ· καὶ κείσθω μιᾷ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ ἴση ἡ ΘΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΛ, ΗΛ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΚΘ, ΘΛ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Β γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΘΛ ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΚΛ ἴση.
그러나 그렇지 않다면 그것들이 서로 같지 않다고 하자. 그리고 직선 ΘΚ와 그 위의 점 Θ에 대하여, 각 ΑΒΓ와 같도록 각 ΚΘΛ을 만들고, ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ 중 하나와 같도록 ΘΛ을 놓으며, ΚΛ, ΗΛ을 잇자. 그리고 두 변 ΑΒ, ΒΓ는 두 변 ΚΘ, ΘΛ과 같고, Β에서의 각은 각 ΚΘΛ과 같으므로, 따라서 밑변 ΑΓ는 밑변 ΚΛ과 같다.
καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΗΘΚ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΚΘΛ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΗΘΛ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ μείζων ἐστίν.
그리고 각 ΑΒΓ, ΗΘΚ는 각 ΔΕΖ보다 크고, 각 ΑΒΓ는 각 ΚΘΛ과 같으므로, 따라서 각 ΗΘΛ은 각 ΔΕΖ보다 크다.
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΗΘ, ΘΛ δύο ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΘΛ γωνίας τῆς ὑπὸ ΔΕΖ μείζων, βάσις ἄρα ἡ ΗΛ βάσεως τῆς ΔΖ μείζων ἐστίν.
그리고 두 변 ΗΘ, ΘΛ은 두 변 ΔΕ, ΕΖ와 같고, 각 ΗΘΛ은 각 ΔΕΖ보다 크므로, 따라서 밑변 ΗΛ은 밑변 ΔΖ보다 크다.
ἀλλὰ αἱ ΗΚ, ΚΛ τῆς ΗΛ μείζονές εἰσιν.
그런데 ΗΚ, ΚΛ은 ΗΛ보다 크다.
πολλῷ ἄρα αἱ ΗΚ, ΚΛ τῆς ΔΖ μείζονές εἰσιν.
그러므로 ΗΚ, ΚΛ은 ΔΖ보다 훨씬 더 크다.
ἴση δὲ ἡ ΚΛ τῇ ΑΓ·
그리고 ΚΛ은 ΑΓ와 같다.
αἱ ΑΓ, ΗΚ ἄρα τῆς λοιπῆς τῆς ΔΖ μείζονές εἰσιν.
그러므로 ΑΓ, ΗΚ는 남은 ΔΖ보다 크다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ μὲν ΑΓ, ΔΖ τῆς ΗΚ μείζονές εἰσιν, καὶ ἔτι αἱ ΔΖ, ΗΚ τῆς ΑΓ μείζονές εἰσιν.
마찬가지로 ΑΓ, ΔΖ도 ΗΚ보다 크고, 더욱이 ΔΖ, ΗΚ도 ΑΓ보다 크다는 것이 증명될 것이다.
δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι·
그러므로 ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ와 같은 직선들로부터 삼각형을 구성하는 것이 가능하다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.