§11.prop.18ἐὰν εὐθεῖα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ πάντα τὰ διʼ αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.
もし直線がある平面に対して垂直であるならば、その直線を通るすべての平面もまた、同じ平面に対して垂直であるであろう。
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστω·
直線 ΑΒ が与えられた平面に対して垂直であるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ πάντα τὰ διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
私は、ΑΒ を通るすべての平面もまた与えられた平面に対して垂直であると主張する。
Ἐκβεβλήσθω γὰρ διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδον τὸ ΔΕ, καὶ ἔστω κοινὴ τομὴ τοῦ ΔΕ ἐπιπέδου καὶ τοῦ ὑποκειμένου ἡ ΓΕ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΓΕ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΓΕ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἐν τῷ ΔΕ ἐπιπέδῳ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ·
なぜなら、ΑΒ を通って平面 ΔΕ が作られ、平面 ΔΕ と与えられた平面の共通の交線が ΓΕ であるとせよ。 そして ΓΕ 上に任意の点 Ζ が取られ、点 Ζ から ΓΕ に対して垂直に平面 ΔΕ 内に ΖΗ が引かれたとせよ。 そして、ΑΒ は与えられた平面に対して垂直であるから、したがって、自身に接し、かつ与えられた平面内にあるすべての直線に対しても ΑΒ は垂直である。
ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΓΕ ὀρθή ἐστιν·
したがって、ΓΕ に対しても垂直である。
ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΖ γωνία ὀρθή ἐστιν.
ゆえに、角 ΑΒΖ は直角である。
ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΗΖΒ ὀρθή·
ところで、角 ΗΖΒ もまた直角である。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΖΗ. ἡ δὲ ΑΒ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν·
したがって、ΑΒ は ΖΗ に平行である。 ところで、ΑΒ は与えられた平面に対して垂直である。
καὶ ἡ ΖΗ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
したがって、ΖΗ もまた与えられた平面に対して垂直である。
καὶ ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστιν, ὅταν αἱ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων τῷ λοιπῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν.
そして、平面が平面に対して垂直であるとは、それらの平面の共通の交線に対して垂直に、一方の平面内に引かれた直線が、他方の平面に対して垂直であるときをいう。
καὶ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων τῇ ΓΕ ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων τῷ ΔΕ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσα ἡ ΖΗ ἐδείχθη τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς·
そして、平面の共通の交線 ΓΕ に対して垂直に、一方の平面 ΔΕ 内に引かれた ΖΗ は、与えられた平面に対して垂直であることが示された。
τὸ ἄρα ΔΕ ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον.
したがって、平面 ΔΕ は与えられた平面に対して垂直である。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ πάντα τὰ διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδα ὀρθὰ τυγχάνοντα πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον.
同様にして、ΑΒ を通るすべての平面が、与えられた平面に対して垂直になることが示されるであろう。
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ πάντα τὰ διʼ αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται·
したがって、もし直線がある平面に対して垂直であるならば、その直線を通るすべての平面もまた、同じ平面に対して垂直であるであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§11.prop.19ἐὰν δύο ἐπίπεδα τέμνοντα ἄλληλα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.
もし交わる2つの平面がある平面に対して垂直であるならば、それらの共通の交線もまた、同じ平面に対して垂直であるであろう。
δύο γὰρ ἐπίπεδα τὰ ΑΒ, ΒΓ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστω, κοινὴ δὲ αὐτῶν τομὴ ἔστω ἡ ΒΔ·
2つの平面 ΑΒ, ΒΓ が与えられた平面に対して垂直であるとせよ。 そして、それらの共通の交線を ΒΔ とせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΒΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
私は、ΒΔ が与えられた平面に対して垂直であると主張する。
μὴ γάρ, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐν μὲν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ τῇ ΑΔ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΕ, ἐν δὲ τῷ ΒΓ ἐπιπέδῳ τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ. καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΒ ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον, καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ τῇ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ ἦκται ἡ ΔΕ, ἡ ΔΕ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον.
もしそうでなければ、点 Δ から、平面 ΑΒ 内においては直線 ΑΔ に対して垂直に ΔΕ が引かれ、平面 ΒΓ 内においては ΓΔ に対して垂直に ΔΖ が引かれたとせよ。 そして、平面 ΑΒ は与えられた平面に対して垂直であり、それらの共通の交線 ΑΔ に対して垂直に平面 ΑΒ 内に ΔΕ が引かれているから、したがって ΔΕ は与えられた平面に対して垂直である。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΔΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον.
同様にして、ΔΖ もまた与えられた平面に対して垂直であることが示されるであろう。
ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἄρα σημείου τοῦ Δ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς ἀνεσταμέναι εἰσὶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη·
したがって、同じ点 Δ から与えられた平面に対して、同じ側に2つの直線が垂直に立てられていることになる。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἀνασταθήσεται πρὸς ὀρθὰς πλὴν τῆς ΔΒ κοινῆς τομῆς τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπιπέδων.
したがって、与えられた平面に対して点 Δ から垂直に立てられる直線は、平面 ΑΒ, ΒΓ の共通の交線 ΔΒ 以外にはない。
ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα τέμνοντα ἄλληλα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται·
したがって、もし交わる2つの平面がある平面に対して垂直であるならば、それらの共通の交線もまた、同じ平面に対して垂直であるであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。