§11.prop.18ἐὰν εὐθεῖα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ πάντα τὰ διʼ αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.
만약 어떤 직선이 어떤 평면에 대하여 수직이면, 그 직선을 지나는 모든 평면도 그 같은 평면에 대하여 수직일 것이다.
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστω·
어떤 직선 ΑΒ가 주어진 평면에 대하여 수직이라고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ πάντα τὰ διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
나는 ΑΒ를 지나는 모든 평면도 주어진 평면에 대하여 수직이라고 주장한다.
Ἐκβεβλήσθω γὰρ διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδον τὸ ΔΕ, καὶ ἔστω κοινὴ τομὴ τοῦ ΔΕ ἐπιπέδου καὶ τοῦ ὑποκειμένου ἡ ΓΕ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΓΕ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΓΕ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἐν τῷ ΔΕ ἐπιπέδῳ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ·
왜냐하면 ΑΒ를 통과하여 평면 ΔΕ가 그려지고, 평면 ΔΕ와 주어진 평면의 공통의 교선을 ΓΕ라 하자. 그리고 ΓΕ 위에 임의의 점 Ζ를 잡고, 점 Ζ로부터 ΓΕ에 대하여 수직이 되도록 평면 ΔΕ 내에 ΖΗ를 긋자. 그리고 ΑΒ는 주어진 평면에 대하여 수직이므로, 따라서 자신과 만나고 주어진 평면 위에 있는 모든 직선들에 대하여 ΑΒ는 수직이다.
ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΓΕ ὀρθή ἐστιν·
그리하여 ΓΕ에 대하여도 수직이다.
ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΖ γωνία ὀρθή ἐστιν.
그러므로 각 ΑΒΖ는 직각이다.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΗΖΒ ὀρθή·
그런데 각 ΗΖΒ도 직각이다.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΖΗ. ἡ δὲ ΑΒ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν·
그러므로 ΑΒ는 ΖΗ와 평행하다. 그런데 ΑΒ는 주어진 평면에 대하여 수직이다.
καὶ ἡ ΖΗ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
그러므로 ΖΗ도 주어진 평면에 대하여 수직이다.
καὶ ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστιν, ὅταν αἱ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων τῷ λοιπῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν.
그리고 평면이 평면에 대하여 수직이라는 것은, 평면들의 공통의 교선에 대하여 수직이 되도록 한 평면 내에 그어진 직선들이 남은 평면에 대하여 수직일 때를 말한다.
καὶ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων τῇ ΓΕ ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων τῷ ΔΕ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσα ἡ ΖΗ ἐδείχθη τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς·
그런데 평면들의 공통의 교선 ΓΕ에 대하여 수직이 되도록 한 평면 ΔΕ 내에 그어진 ΖΗ가 주어진 평면에 대하여 수직임이 증명되었다.
τὸ ἄρα ΔΕ ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον.
그러므로 평면 ΔΕ는 주어진 평면에 대하여 수직이다.
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ πάντα τὰ διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδα ὀρθὰ τυγχάνοντα πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον.
마찬가지로 ΑΒ를 지나는 모든 평면도 주어진 평면에 대하여 수직임이 증명될 것이다.
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ πάντα τὰ διʼ αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται·
그러므로 만약 어떤 직선이 어떤 평면에 대하여 수직이면, 그 직선을 지나는 모든 평면도 그 같은 평면에 대하여 수직일 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§11.prop.19ἐὰν δύο ἐπίπεδα τέμνοντα ἄλληλα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.
만약 서로 만나는 두 평면이 어떤 평면에 대하여 수직이면, 그것들의 공통의 교선도 그 같은 평면에 대하여 수직일 것이다.
δύο γὰρ ἐπίπεδα τὰ ΑΒ, ΒΓ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστω, κοινὴ δὲ αὐτῶν τομὴ ἔστω ἡ ΒΔ·
두 평면 ΑΒ, ΒΓ가 주어진 평면에 대하여 수직이라고 하자. 그리고 그것들의 공통의 교선을 ΒΔ라 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΒΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
나는 ΒΔ가 주어진 평면에 대하여 수직이라고 주장한다.
μὴ γάρ, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐν μὲν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ τῇ ΑΔ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΕ, ἐν δὲ τῷ ΒΓ ἐπιπέδῳ τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ. καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΒ ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον, καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ τῇ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ ἦκται ἡ ΔΕ, ἡ ΔΕ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον.
그렇지 않다고 하자. 그리고 점 Δ로부터, 평면 ΑΒ 내에서는 직선 ΑΔ에 대하여 수직이 되도록 ΔΕ를 긋고, 평면 ΒΓ 내에서는 ΓΔ에 대하여 수직이 되도록 ΔΖ를 긋자. 그리고 평면 ΑΒ는 주어진 평면에 대하여 수직이고, 그것들의 공통의 교선 ΑΔ에 대하여 수직이 되도록 평면 ΑΒ 내에 ΔΕ가 그어졌으므로, 따라서 ΔΕ는 주어진 평면에 대하여 수직이다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΔΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον.
마찬가지로 ΔΖ도 주어진 평면에 대하여 수직임이 증명될 것이다.
ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἄρα σημείου τοῦ Δ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς ἀνεσταμέναι εἰσὶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη·
그러므로 같은 점 Δ로부터 주어진 평면에 대하여 같은 쪽으로 두 직선이 수직으로 세워진 셈이 된다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἀνασταθήσεται πρὸς ὀρθὰς πλὴν τῆς ΔΒ κοινῆς τομῆς τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπιπέδων.
그러므로 주어진 평면에 대하여 점 Δ로부터 평면 ΑΒ, ΒΓ의 공통의 교선 ΔΒ를 제외하고는 수직으로 세워질 수 없다.
ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα τέμνοντα ἄλληλα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται·
그러므로 만약 서로 만나는 두 평면이 어떤 평면에 대하여 수직이면, 그것들의 공통의 교선도 그 같은 평면에 대하여 수직일 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.