§10.prop3.98τὸ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν.
第1の中項アポトメー上の正方形を有理（直線）に沿って応用すると、幅として第2のアポトメーを作る。
ἔστω μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ·
第1の中項アポトメーをAB、有理（直線）をGDとし、AB上の正方形に等しい（矩形）GEがGDに沿って応用され、幅 GZを作るとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι δευτέρα.
私は、GZが第2のアポトメーであると主張する。
ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ·
というのも、ABに対する付加線をBHとせよ。
αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι.
したがってAH, HBは平方においてのみ通約可能な中項（直線）であり、有理（の矩形）を囲んでいる。
καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΜ·
そして、AH上の正方形に等しい（矩形）GTがGDに沿って応用され、幅GKを作るとせよ。 また、HB上の正方形に等しい（矩形）KLが［GDに沿って応用され］、幅KMを作るとせよ。
ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ·
したがって、全体GLはAH, HB上の正方形の和に等しい。
μέσον ἄρα καὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ·
したがって、GLも中項である。 そして、それは有理（直線）GDに沿って応用され、幅GMを作っている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
したがって、GMは有理であり、かつGDと長さにおいて通約不可能である。
καὶ ἐπεὶ τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΕ, λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΖΛ. ῥητὸν δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ·
そして、GLはAH, HB上の正方形の和に等しく、そのうちAB上の正方形はGEに等しいから、したがって残りの、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍はZLに等しい。 そして、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍は有理である。
ῥητὸν ἄρα τὸ ΖΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ·
したがって、ZLは有理である。 And そして、それは有理（直線）ZEに沿って応用され、幅ZMを作っている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
したがって、ZMも有理であり、かつGDと長さにおいて通約可能である。
ἐπεὶ οὖν τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τουτέστι τὸ ΓΛ, μέσον ἐστίν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τουτέστι τὸ ΖΛ, ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΖΜ·
したがって、AH, HB上の正方形、すなわちGLは中項であり、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍、すなわちZLは有理であるから、したがってGLはZLと通約不可能である。 そして、GLがZLに対するように、そのようにGMはZMに対する。
ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει.
したがって、GMはZMと長さにおいて通約不可能である。
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
そして、両者は有理である。
αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、GM, MZは平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。
ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.
したがって、 GZはアポトメーである。
λέγω δή, ὅτι καὶ δευτέρα.
さて、私はそれが第2（のアポトメー）でもあると主張する。
τετμήσθω γὰρ ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΝΞ·
というのも、ZMが点Nにおいて2等分され、Nを通ってGDに平行なNXが引かれたとせよ。
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τετραγώνων μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ΓΘ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ ΝΛ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ΚΛ, καὶ τῶν ΓΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ·
したがって、ZX, NLのそれぞれはAH, HBによって囲まれる（矩形）に等しい。 And そして、AH, HB上の正方形の間に、AH, HBによって囲まれる（矩形）が比例中項であり、かつAH上の正方形はGTに等しく、AH, HBによって囲まれる（矩形）はNLに等しく、BH上の正方形はKLに等しいから、したがってGT, KLの間にも、NLは比例中項である。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ, ὡς δὲ τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΜΚ·
したがって、GTがNLに対するように、そのようにNLは KLに対する。 しかし、GTがNLに対するように、そのようにGKはNMに対する。 そして、NLがKLに対するように、そのようにNMはMKに対する。
ὡς ἄρα ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΚΜ·
したがって、GKがNMに対するように、そのようにNMはKMに対する。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΖ ἴσον παρὰ τὴν μείζονα τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
したがって、GK, KMによって囲まれる（矩形）はNM上の正方形に等しい、すなわち ZM上の正方形 of the 4分の1に等しい。 したがって、GM, MZが2つの不等な直線であり、かつMZの4分の1に等しい、GK, KMによって囲まれる（矩形）が、正方形の不足を伴って、より大きいGMに沿って応用されており、かつそれを（GMを）通約可能な（部分）に分割するから、したがってGMはMZよりも、自身と長さにおいて通約可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きい。
καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΜ σύμμετρος μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ·
そして、付加線ZMは設定された有理（直線）GDと長さにおいて通約可能である。
ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι δευτέρα.
したがって、GZは第2のアポトメーである。
τὸ ἄρα ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν·
したがって、第1の中項アポトメー上の正方形を有理（直線）に沿って応用すると、幅として第2のアポトメーを作る。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。