§10.prop3.98τὸ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν.
제1 미디얼 아포토메 위의 정사각형을 유리선에 따라 응용하면, 폭으로서 제2 아포토메를 만든다.
ἔστω μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ·
AB를 제1 미디얼 아포토메, GD를 유리선이라 하고, AB 위의 정사각형과 같은 (직사각형) GE가 GD에 따라 응용되어 폭 GZ를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι δευτέρα.
나는 GZ가 제2 아포토메라고 주장한다.
ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ·
왜냐하면 AB에 대한 부가선을 BH라 하자.
αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι.
그러므로 AH, HB는 제곱에서만 통약할 수 있는 미디얼 직선이며, 유리 영역을 둘러싼다.
καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΜ·
그리고 AH 위의 정사각형과 같은 (직사각형) GT가 GD에 따라 응용되어 폭 GK를 만들고, HB 위의 정사각형과 같은 (직사각형) KL이 [GD에 따라 응용되어] 폭 KM을 만든다고 하자.
ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ·
그러므로 전체 GL은 AH, HB 위의 정사각형들의 합과 같다.
μέσον ἄρα καὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ·
그러므로 GL도 미디얼 영역이다. 그리고 그것은 유리선 GD에 따라 응용되어 폭 GM을 만든다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
그러므로 GM은 유리적이고 GD와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΕ, λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΖΛ. ῥητὸν δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ·
그리고 GL은 AH, HB 위의 정사각형들의 합과 같고, 그 중 AB 위의 정사각형은 GE와 같으므로, 그러므로 남은, AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배는 ZL과 같다. 그리고 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배는 유리적이다.
ῥητὸν ἄρα τὸ ΖΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ·
그러므로 ZL은 유리적이다. 그리고 그것은 유리선 ZE에 따라 응용되어 폭 ZM을 만든다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
그러므로 ZM도 유리적이고 GD와 길이에서 통약할 수 있다.
ἐπεὶ οὖν τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τουτέστι τὸ ΓΛ, μέσον ἐστίν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τουτέστι τὸ ΖΛ, ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΖΜ·
그러므로 AH, HB 위의 정사각형들, 즉 GL이 미디얼 영역이고, AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배, 즉 ZL이 유리적이므로, 그러므로 GL은 ZL과 통약할 수 없다. 그리고 GL이 ZL에 대한 비율은 GM이 ZM에 대한 비율과 같다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει.
그러므로 GM은 ZM과 길이에서 통약할 수 없다.
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
그리고 둘 다 유리선이다.
αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 GM, MZ는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이다.
ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.
그러므로 GZ는 아포토메이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ δευτέρα.
나는 그것이 제2 아포토메이기도 하다고 주장한다.
τετμήσθω γὰρ ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΝΞ·
왜냐하면 ZM이 점 N에서 이등분되고, N을 지나며 GD에 평행한 NX가 그어졌다고 하자.
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τετραγώνων μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ΓΘ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ ΝΛ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ΚΛ, καὶ τῶν ΓΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ·
그러므로 ZX, NL 각각은 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다. 그리고 AH, HB 위의 정사각형들 사이에, AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형이 비례중항이고, AH 위의 정사각형은 GT와 같고, AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형은 NL과 같으며, BH 위의 정사각형은 KL과 같으므로, 그러므로 GT, KL 사이에도 NL은 비례중항이다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ, ὡς δὲ τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΜΚ·
그러므로 GT가 NL에 대한 비율은 NL이 KL에 대한 비율과 같다. 그러나 GT가 NL에 대한 비율은 GK가 NM에 대한 비율과 같고, NL이 KL에 대한 비율은 NM이 MK에 대한 비율과 같다.
ὡς ἄρα ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΚΜ·
그러므로 GK가 NM에 대한 비율은 NM이 KM에 대한 비율과 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΖ ἴσον παρὰ τὴν μείζονα τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
그러므로 GK, KM에 의해 둘러싸인 직사각형은 NM 위의 정사각형과 같다. 즉, ZM 위의 정사각형의 4분의 일과 같다. 그러므로 GM, MZ가 두 개의 부등한 직선이고, MZ 위의 정사각형의 4분의 일과 같은, GK, KM에 의해 둘러싸인 직사각형이 정사각형 모양이 부족한 상태로 더 큰 GM에 따라 응용되어 있으며, 그것(GM)을 통약할 수 있는 부분들로 분할하므로, 그러므로 GM은 MZ보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΜ σύμμετρος μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ·
그리고 부가선 ZM은 설정된 유리선 GD와 길이에서 통약할 수 있다.
ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι δευτέρα.
그러므로 GZ는 제2 아포토메이다.
τὸ ἄρα ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν·
그러므로 제1 미디얼 아포토메 위의 정사각형을 유리선에 따라 응용하면, 폭으로서 제2 아포토메를 만든다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.