§10.prop3.97τὸ ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην.
アポトメー上の正方形を有理（直線）に沿って応用すると、幅として第1のアポトメーを作る。
ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ·
アポトメーをAB、有理（直線）をGDとし、AB上の正方形に等しい（矩形）GEがGDに沿って応用され、幅 GZを作るとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι πρώτη.
私は、GZが第1のアポトメーであると主張する。
ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ·
というのも、ABに対する付加線をBHとせよ。
αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
したがってAH, HBは平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。
καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ τὸ ΚΛ. ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ·
そして、AH上の正方形に等しい（矩形）GTがGDに沿って応用され、 BH上の正方形に等しい（矩形）KLが［同様に応用されたとせよ］。 したがって、全体GLはAH, HB上の正方形の和に等しい。
ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ·
これらのうちGEはAB上の正方形に等しい。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τετμήσθω ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΝΞ·
したがって、残りのZLはAH, HBによって囲まれる（矩形）の 2倍に等しい。 ZMが点Nにおいて2等分され、Nを通ってGDに平行なNXが引かれたとせよ。
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΛΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητά ἐστιν, καί ἐστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΔΜ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΜ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παραβέβληται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ·
したがってZX, LNのそれぞれはAH, HBによって囲まれる（矩形）に等しい。 そして、AH, HB上の正方形は有理であり、かつAH, HB上の正方形の和に等しいのはDMであるから、したがってDMは有理である。 そしてそれは有理（直線）GDに沿って応用され、幅GMを作っている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
したがってGMは有理であり、かつGDと長さにおいて通約可能である。
πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ, μέσον ἄρα τὸ ΖΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ·
再び、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍は中項であり、かつAH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍に等しいのはZLであるから、したがってZLは中項である。 そしてそれは有理（直線）GDに沿って応用され、幅 ZMを作っている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
したがってZMは有理であり、かつGDと長さにおいて通約不可能である。
καὶ ἐπεὶ τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητά ἐστιν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον, ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΛ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τὸ ΖΛ·
そして、AH, HB上の正方形は有理であり、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍は中項であるから、したがってAH, HB上の正方形は、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍と通約不可能である。 そして、AH, HB上の正方形の和に等しいのはGLであり、 AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍に等しいのはZLであるから、したがってDMはZLと通約不可能である。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΜ τῷ ΖΛ. ὡς δὲ τὸ ΔΜ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΖΜ. ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει.
そして、DMがZLに対するように、そのようにGMはZMに対する。 したがってGMはZMと長さにおいて通約不可能である。
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
そして両者は有理である。
αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがってGM, MZは平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。
ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.
したがってGZ はアポトメーである。
λέγω δή, ὅτι καὶ πρώτη.
さて、私はそれが第1（のアポトメー）でもあると主張する。
ἐπεὶ γὰρ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσον τὸ ΚΛ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τὸ ΝΛ, καὶ τῶν ΓΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ·
というのも、AH, HB上の正方形の間に、AH, HBによって囲まれる（矩形）が比例中項であり、かつAH上の正方形に等しいのはGTであり、BH上の正方形に等しいのはKLであり、AH, HBによって囲まれる（矩形）に等しいのはNLであるから、したがってGT, KLの間にも、NLは比例中項である。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ·
したがって、GTがNLに対するように、そのようにNLはKLに対する。 しかし、GTがNLに対するように、そのようにGKはNMに対する。
ὡς δὲ τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΚΜ·
そして、NLがKLに対するように、そのようにNMはKMに対する。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ, σύμμετρόν καὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΜ·
したがって、 GK, KMによって囲まれる（矩形）はNM上の正方形に等しい、すなわちZM上の正方形の4分の1に等しい。 そして、AH上の正方形はHB上の正方形と通約可能であるから、GTもKLと通約可能である。 そして、GTがKLに対するように、そのようにGKはKMに対する。
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ, καί ἐστι σύμμετρος ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
したがってGKはKMと通約可能である。 したがって、 GM, MZが2つの不等な直線であり、かつZM上の正方形の4分の1に等しい、GK, KMによって囲まれる（矩形）が、正方形の不足を伴ってGMに沿って応用されており、かつGKはKMと通約可能であるから、したがってGMはMZよりも、自身と長さにおいて通約可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きい。
καί ἐστιν ἡ ΓΜ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ μήκει·
そしてGMは設定された有理（直線）GDと長さにおいて通約可能である。
ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι πρώτη.
したがってGZは第1のアポトメーである。
τὸ ἄρα ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην·
したがって、アポトメー上の正方形を有理（直線）に沿って応用すると、幅として第1のアポトメーを作る。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。