§10.prop3.99τὸ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην.
第2の中項アポトメー上の正方形を有理（直線）に沿って応用すると、幅として第3のアポトメーを作る。
ἔστω μέσης ἀποτομὴ δευτέρα ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ·
第2の中項アポトメーをAB、有理（直線）をGDとし、AB上の正方形に等しい（矩形）GEがGDに沿って応用され、幅 GZを作るとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι τρίτη.
私は、GZが第3のアポトメーであると主張する。
ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ·
というのも、ABに対する付加線をBHとせよ。
αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι.
したがってAH, HBは平方においてのみ通約可能で、中項（の矩形）を囲む中項（直線）である。
καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσον παρὰ τὴν ΚΘ παραβεβλήσθω τὸ ΚΛ πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΜ·
そして、AH上の正方形に等しい（矩形）GTがGDに沿って応用され、幅GKを作るとせよ。 また、BH上の正方形に等しい（矩形）KLがKTに沿って応用され、幅KMを作るとせよ。
ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ·
したがって、全体GLはAH, HB上の正方形の和に等しい。
μέσον ἄρα καὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παραβέβληται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ·
したがって、GLも中項である。 そして、それは有理（直線）GDに沿って応用され、幅GMを作っている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
したがって、GMは有理であり、かつGDと長さにおいて通約不可能である。
καὶ ἐπεὶ ὅλον τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΛΖ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον, καὶ τῇ ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΝΞ·
そして、全体 GLはAH, HB上の正方形の和に等しく、そのうちGEはAB上の正方形に等しいから、したがって残りのLZは、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍に等しい。 そこで、ZMが点Nにおいて2等分され、GDに平行なNXが引かれたとせよ。
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ·
したがって、ZX, NLのそれぞれはAH, HBによって囲まれる（矩形）に等しい。 そして、AH, HBによって囲まれる（矩形）は中項である。
μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΖΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ·
したがって、ZLも中項である。 そして、それは有理（直線）EZに沿って応用され、幅ZMを作っている。
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
したがって、ZMも有理であり、かつGDと長さにおいて通約不可能である。
καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΗΒ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι, ἀσύμμετρος ἄρα μήκει ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ·
そして、AH, HBは平方においてのみ通約可能であるから、したがってAHはHBと長さにおいて通約不可能である。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ·
したがって、AH上の正方形もAH, HBによって囲まれる（矩形）と通約不可能である。 しかし、AH上の正方形には、AH, HB上の正方形の和が通約可能であり、AH, HBによって囲まれる（矩形）には、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍が通約可能である。
ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΛ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΖΛ·
したがって、AH, HB上の正方形の和は、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍と通約不可能である。 しかし、 AH, HB上の正方形の和にはGLが等しく、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍にはZLが等しい。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΖΜ·
したがって、GLはZLと通約不可能である。 そして、GLがZLに対するように、そのようにGMはZMに対する。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει.
したがって、GMはZMと長さにおいて通約不可能である。
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
そして、両者は有理である。
αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、GM, MZは平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ.
λέγω δή, ὅτι καὶ τρίτη.
したがって、GZはアポトメーである。 さて、私はそれが第3（のアポトメー）でもあると主張する。
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ, σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ·
というのも、AH上の正方形がHB上の正方形と通約可能であるから、したがってGTもKLと通約可能である。
ὥστε καὶ ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΝΛ, καὶ τῶν ΓΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ·
それゆえ、GKもKMと通約可能である。 そして、AH, HB上の正方形の間に、AH, HBによって囲まれる（矩形）が比例中項であり、かつAH上の正方形はGTに等しく、BH上の正方形はKLに等しく、AH, HBによって囲まれる（矩形）はNLに等しいから、したがってGT, KLの間にも、NLは比例中項である。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ, ὡς δὲ τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΚΜ·
したがって、GTがNLに対するように、そのようにNLはKLに対する。 しかし、GTが NLに対するように、そのようにGKはNMに対する。 そして、NLがKLに対するように、そのようにNMはKMに対する。
ὡς ἄρα ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΜΝ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΚΜ·
したがって、GKがMNに対するように、そのようにMNはKMに対する。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ΓΜ ἄρα τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
したがって、GK, KMによって囲まれる（矩形）はZM上の正方形の4分の1に等しい。 したがって、 GM, MZが2つの不等な直線であり、かつZM上の正方形の4分の1に等しい（矩形）が、正方形の不足を伴って、GMに沿って応用されており、かつそれを（GMを）通約可能な（部分）に分割するから、したがってGMはMZよりも、自身と長さにおいて通約可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きい。
καὶ οὐδετέρα τῶν ΓΜ, ΜΖ σύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ·
そして、GM, MZのどちらも、設定された有理（直線）GDと長さにおいて通約不可能である。
ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι τρίτη.
したがって、GZは第3のアポトメーである。
τὸ ἄρα ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην·
したがって、第2の中項アポトメー上の正方形を有理（直線）に沿って応用すると、幅として第3のアポトメーを作る。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。