§10.prop3.96ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς ἕκτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
もし領域が有理（直線）と第6のアポトメーによって囲まれるならば、その領域を平方する（直線）は「中項（領域）とともに全体として中項（領域）を作る（直線）」である。
χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς ἕκτης τῆς ΑΔ·
領域ABが有理（直線）ACと第6のアポトメーADによって囲まれているとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
私は、領域ABを平方する（直線）は「中項（領域）とともに全体として中項（領域）を作る（直線）」であると主張する。
ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ·
というのも、ADへの付加線をDHとせよ。
αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ μήκει, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
したがってAH, HDは平方においてのみ通約可能な有理（直線）であり、かつそれらのいずれも、設定された有理（直線）ACと長さにおいて通約可能ではなく、かつ全体AHは付加線DHよりも、自身と長さにおいて通約不可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きい。
ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ.
したがって、AHがHDよりも、自身と長さにおいて通約不可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きいから、もしDH上の正方形の4分の1に等しい（矩形）が正方形の不足を伴ってAHに沿って応用されるならば、それは彼女（AH）を通約不可能なもの（線分）に分割する。
τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ·
したがって、DHが点Eにおいて2等分されたとせよ。 そして、EH上の正方形に等しい（矩形）が、正方形の不足を伴ってAHに沿って応用されたとせよ、そしてそれをAZ, ZHによって囲まれる（矩形）とせよ。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει.
したがってAZは ZHと長さにおいて通約不可能である。
ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΖΚ·
そして、AZがZHに対するように、そのようにAIはZKに対する。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΑΓ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, μέσον ἐστὶ τὸ ΑΚ. πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΔΗ ῥηταί εἰσι καὶ ἀσύμμετροι μήκει, μέσον ἐστὶ καὶ τὸ ΔΚ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΗ, ΗΔ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ μήκει.
したがってAIはZKと通約不可能である。 そして、AH, ACが有理（直線）であって平方においてのみ通約可能であるから、AKは中項である。 再び、AC, DHが有理（直線）であって長さにおいて通約不可能であるから、 DKもまた中項である。 したがって、AH, HDが平方においてのみ通約可能であるから、したがってAHはHDと長さにおいて通約不可能である。
ὡς δὲ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΔ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΚ πρὸς τὸ ΚΔ·
そして、AHがHDに対するように、そのようにAKはKDに対する。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ τῷ ΚΔ. συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὸ ΝΞ·
したがってAKはKDと通約不可能である。 したがって、AIに等しい正方形LMが作られ、かつZKに等しい（正方形）NXが、同一の角を共通にして差し引かれたとせよ。
περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα.
したがって正方形LM, NXは同一の対角線の周りにある。
ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
それらの対角線をOPとし、図形が完成されたとせよ。
ὁμοίως δὴ τοῖς ἐπάνω δείξομεν, ὅτι ἡ ΛΝ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
同様にして、上に示したように、LNが領域ABを平方することを示すことができる。
λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
私は、LNが「中項（領域）とともに全体として中項（領域）を作る（直線）」であると主張する。
ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν.
というのも、AKは中項であると示され、かつそれはLO, ON上の正方形の和に等しいから、したがってLO, ON上の正方形の和は中項である。
πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐδείχθη τὸ ΔΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν.
再び、 DKは中項であると示され、かつそれはLO, ONによって囲まれる（矩形）の2倍に等しいから、LO, ONによって囲まれる（矩形）の2倍もまた中項である。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΚ τῷ ΔΚ, ἀσύμμετρα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ τετράγωνα τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ·
そして、AKがDKと通約不可能であると示されたから、LO, ON上の正方形の和も、LO, ONによって囲まれる（矩形）の2倍と通約不可能である。 そして、AIがZKと通約不可能であるから、したがってLO上の正方形もON上の正方形と通約不可能である。
αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον ἔτι τε τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα τῷ δὶς ὑπʼ αὐτῶν.
したがって、LO, ONは平方において通約不可能であり、それら自身の上の正方形の和を中項にし、かつそれらによって囲まれる（矩形）の2倍を中項にし、さらにそれら自身の上の正方形の和を、それらによって囲まれる（矩形）の2倍と通約不可能にする。
ἡ ἄρα ΛΝ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα·
したがって、残りのLNは「中項（領域）とともに全体として中項（領域）を作る（直線）」と呼ばれる無理線である。
καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
そしてそれは領域ABを平方する。
ἡ ἄρα τὸ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν·
したがって、その領域を平方する（直線）は「中項（領域）とともに全体として中項（領域）を作る（直線）」である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。