§10.prop3.96ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς ἕκτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
如果一个区域由一条有理线和第六离线所包围，那么产生该区域的线是和中项面积一起使整体为中项的线。
χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς ἕκτης τῆς ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
设区域AB由有理线AC与第六离线AD包围；我说，产生区域AB的线是和中项面积一起使整体为中项的线。
ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ μήκει, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
因为，设DH为AD的伴线；因此AH、HD是仅在平方上可共测的有理线，且它们之中任何一个在长度上与设定的有理线AC都不可共测，而整体AH比伴线DH在平方上大一个在长度上与自身不可共测的线上的正方形。
ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ.
因此，由于AH比DH在平方上大一个在长度上与自身不可共测的线上的正方形，如果将一个等于DH上正方形四分之一的矩形贴合到AH上，并缺一个正方形，它就将它（AH）分成在长度上不可共测的部分。
τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει.
因此，设DH在点E被二等分，且将一个等于EH上正方形的矩形贴合到AH上，且缺一个正方形，并设它是由AZ、ZH所包围的矩形；因此AZ在长度上与ZH不可共测。
ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΖΚ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΑΓ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, μέσον ἐστὶ τὸ ΑΚ. πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΔΗ ῥηταί εἰσι καὶ ἀσύμμετροι μήκει, μέσον ἐστὶ καὶ τὸ ΔΚ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΗ, ΗΔ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ μήκει.
且由于AZ对于ZH，正如AI对于ZK；因此AI与ZK不可共测。 且由于AH、AC是仅在平方上可共测的有理线，AK是中项。 再次，由于AC、DH是有理的，且在长度上不可共测， DK也是中项。 因此，由于AH、HD仅在平方上可共测，因此AH在长度上与HD不可共测。
ὡς δὲ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΔ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΚ πρὸς τὸ ΚΔ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ τῷ ΚΔ. συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὸ ΝΞ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα.
且由于AH对于HD，正如AK对于KD；因此AK与KD不可共测。 因此，设作一个等于AI的正方形LM，且减去等于ZK的正方形NX，使其与正方形LM具有公共角；因此正方形LM、NX在同一对角线上。
ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
设它们共同的对角线为OP，并画出整个图形。
ὁμοίως δὴ τοῖς ἐπάνω δείξομεν, ὅτι ἡ ΛΝ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
如同在上面，同理我们可以证明，LN产生区域AB。
λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
我说，LN是和中项面积一起使整体为中项的线。
ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν.
因为，由于AK被证明是中项，且等于LO、ON上的正方形之和，因此LO、ON上的正方形之和是中项。
πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐδείχθη τὸ ΔΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν.
再次，由于DK被证明是中项且等于LO、ON所包围的矩形的两倍，LO、ON所包围的矩形的两倍也是中项。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΚ τῷ ΔΚ, ἀσύμμετρα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ τετράγωνα τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ·
且由于AK被证明与DK不可共测，LO、ON上的正方形之和也与LO、ON所包围的矩形的两倍不可共测。
αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον ἔτι τε τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα τῷ δὶς ὑπʼ αὐτῶν.
且由于AI与ZK不可共测，因此LO上的正方形也与ON上的正方形不可共测；因此LO、ON在平方上不可共测，使它们之上的正方形之和是中项，且它们所包围的矩形的两倍也是中项，进而它们之上的正方形之和与它们所包围的矩形的两倍不可共测。
ἡ ἄρα ΛΝ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα· καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
因此，余下的LN是无理线，被称为和中项面积一起使整体为中项的线；且它产生区域AB。
ἡ ἄρα τὸ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，产生该区域的线是和中项面积一起使整体为中项的线；这就是所要证明的。