§10.prop3.95ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς πέμπτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
もし領域が有理（直線）と第5のアポトメーによって囲まれるならば、その領域を平方する（直線）は「有理（領域）とともに全体として中項（領域）を作る（直線）」である。
χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς πέμπτης τῆς ΑΔ·
領域ABが有理（直線）ACと第5のアポトメーADによって囲まれているとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
私は、領域ABを平方する（直線）は「有理（領域）とともに全体として中項（領域）を作る（直線）」であると主張する。
ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ·
というのも、ADへの付加線をDHとせよ。
αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ προςαρμόζουσα ἡ ΗΔ σύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
したがってAH, HDは平方においてのみ通約可能な有理（直線）であり、かつ付加線 HDは設定された有理（直線）ACと長さにおいて通約可能であり、かつ全体AHは付加線DHよりも、自身と長さにおいて通約不可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きい。
ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ.
したがって、もしDH上の正方形の4分の1に等しい（矩形）が、正方形の不足を伴ってAHに沿って応用されるならば、それは彼女（AH）を通約不可能なもの（線分）に分割する。
τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ·
したがって、 DHが点Eにおいて2等分されたとせよ。 そして、EH の上の正方形に等しい（長方形）が、正方形の分だけ欠けるかたちで AH に沿って付置されたとし、それを AZ, ZH に囲まれた長方形とせよ。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει.
したがってAZはZHと長さにおいて通約不可能である。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΓΑ μήκει, καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ. πάλιν, ἐπεὶ ῥητή ἐστιν ἡ ΔΗ καὶ σύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει, ῥητόν ἐστι τὸ ΔΚ. συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον τετράγωνον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΛΟΜ·
そして、 AHがGAと長さにおいて通約不可能であって、かつ両者が有理であるから、したがってAKは中項である。 再び、DHが有理であってACと長さにおいて通約可能であるから、DKは有理である。 したがって、AIに等しい正方形LMが作られ、かつZKに等しい正方形NXが、 LOMによって囲まれる角と角を共通にして差し引かれたとせよ。
περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα.
したがって正方形LM, NXは同一の対角線の周りにある。
ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
それらの対角線をOPとし、図形が完成されたとせよ。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ ΛΝ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
同様にして、LNが領域ABを平方することを示すことができる。
λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
今や、私はLNが「有理（領域）とともに全体として中項（領域）を作る（直線）」であると主張する。
ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν.
というのも、AKは中項であると示され、かつそれはLO, ON上の正方形の和に等しいから、したがってLO, ON上の正方形の和は中項である。
πάλιν, ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ ΔΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, καὶ αὐτὸ ῥητόν ἐστιν.
再び、DKは有理であって、かつそれはLO, ONによって囲まれる（矩形）の2倍に等しいから、したがってそれ（LO, ONによって囲まれる矩形の2倍）自身も有理である。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ·
そして、AIがZKと通約不可能であるから、したがってLO上の正方形もON上の正方形と通約不可能である。
αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν.
したがってLO, ONは平方において通約不可能であり、それら自身の上の正方形の和を中項にし、かつそれらによって囲まれる（矩形）の2倍を有理にする。
ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΝ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα·
したがって、残りのLNは「有理（領域）とともに全体として中項（領域）を作る（直線）」と呼ばれる無理線である。
καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
そしてそれは領域ABを平方する。
ἡ τὸ ΑΒ ἄρα χωρίον δυναμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν·
したがって、領域ABを平方する（直線）は「有理（領域）とともに全体として中項（領域）を作る（直線）」である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。