§10.prop3.96ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς ἕκτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
만약 어떤 넓이가 유리선과 제6 아포토메에 의해 둘러싸인다면, 그 넓이를 제곱하는 (선)은 “미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼 영역으로 만드는 (선)”이다.
χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς ἕκτης τῆς ΑΔ·
넓이 AB가 유리선 AC와 제6 아포토메 AD에 의해 둘러싸여 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
나는 넓이 AB를 제곱하는 (선)이 “미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼 영역으로 만드는 (선)”이라고 주장한다.
ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ·
왜냐하면 AD에 대한 부가선을 DH라고 하자.
αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ μήκει, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
그러므로 AH, HD는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이고, 그것들 중 어느 것도 설정된 유리선 AC와 길이에서 통약할 수 없으며, 전체 AH는 부가선 DH보다 자신과 길이에서 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ.
그러므로 AH가 DH보다 자신과 길이에서 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크므로, 만약 DH 위의 정사각형의 4분의 일과 같은 (직사각형)이 정사각형 모양이 부족한 상태로 AH에 따라 응용된다면, 그것은 그녀(AH)를 길이에서 통약할 수 없는 부분들로 나눈다.
τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ·
그러므로 DH가 점 E에서 이등분되었다고 하자. 그리고 EH 위의 정사각형과 같은 (직사각형)이 정사각형 모양이 부족한 상태로 AH에 따라 응용되었다고 하고, 그것을 AZ, ZH에 의해 둘러싸인 직사각형이라고 하자.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει.
그러므로 AZ는 ZH와 길이에서 통약할 수 없다.
ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΖΚ·
그리고 AZ가 ZH에 대한 비율은 AI가 ZK에 대한 비율과 같다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΑΓ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, μέσον ἐστὶ τὸ ΑΚ. πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΔΗ ῥηταί εἰσι καὶ ἀσύμμετροι μήκει, μέσον ἐστὶ καὶ τὸ ΔΚ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΗ, ΗΔ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ μήκει.
그러므로 AI는 ZK와 통약할 수 없다. 그리고 AH, AC가 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이므로, AK는 미디얼 영역이다. 다시, AC, DH가 유리선이고 길이에서 통약할 수 없으므로, DK도 미디얼 영역이다. 그러므로 AH, HD가 제곱에서만 통약할 수 있으므로, 그러므로 AH는 HD와 길이에서 통약할 수 없다.
ὡς δὲ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΔ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΚ πρὸς τὸ ΚΔ·
그리고 AH가 HD에 대한 비율은 AK가 KD에 대한 비율과 같다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ τῷ ΚΔ. συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὸ ΝΞ·
그러므로 AK는 KD와 통약할 수 없다. 그러므로 AI와 같은 정사각형 LM을 만들고, ZK와 같은 정사각형 NX를 같은 각을 공통으로 가지도록 빼내자.
περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα.
그러므로 정사각형 LM, NX는 같은 대각선 주위에 있다.
ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
그것들의 대각선을 OP라 하고, 도형을 완성해 그리자.
ὁμοίως δὴ τοῖς ἐπάνω δείξομεν, ὅτι ἡ ΛΝ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
위에 했던 것과 마찬가지로, 우리는 LN이 넓이 AB를 제곱함을 보일 수 있다.
λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
나는 LN이 “미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼 영역으로 만드는 (선)”이라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν.
왜냐하면 AK는 미디얼 영역임이 증명되었고 LO, ON 각각 위의 정사각형의 합과 같으므로, 그러므로 LO, ON 위의 정사각형의 합은 미디얼 영역이다.
πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐδείχθη τὸ ΔΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν.
다시, DK는 미디얼 영역임이 증명되었고 LO, ON에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 같으므로, LO, ON에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배도 미디얼 영역이다.
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΚ τῷ ΔΚ, ἀσύμμετρα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ τετράγωνα τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ·
그리고 AK가 DK와 통약할 수 없음이 증명되었으므로, LO, ON 위의 정사각형들의 합도 LO, ON에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 통약할 수 없다. 그리고 AI가 ZK와 통약할 수 없으므로, 그러므로 LO 위의 정사각형도 ON 위의 정사각형과 통약할 수 없다.
αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον ἔτι τε τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα τῷ δὶς ὑπʼ αὐτῶν.
그러므로 LO, ON은 제곱에서 통약할 수 없으며, 그 자체 위의 정사각형들의 합을 미디얼 영역으로 만들고, 그것들에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배도 미디얼 영역으로 만들며, 나아가 그 자체 위의 정사각형들의 합을 그것들에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 통약할 수 없게 만든다.
ἡ ἄρα ΛΝ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα· καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
그러므로 남은 LN은 “미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼 영역으로 만드는 (선)”이라 불리는 무리선이며, 넓이 AB를 제곱한다.
ἡ ἄρα τὸ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν·
그러므로 그 넓이를 제곱하는 (선)은 “미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼 영역으로 만드는 (선)”이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.