§10.prop3.94ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τετάρτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν.
もし領域が有理（直線）と第4のアポトメーによって囲まれるならば、その領域を平方する（直線）は「より小さい（直線）」である。
χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς τετάρτης τῆς ΑΔ·
領域ABが有理（直線）ACと第4のアポトメーADによって囲まれているとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν.
私は、領域ABを平方する（直線）は「より小さい（直線）」であると主張する。
ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ·
というのも、ADへの付加線をDHとせよ。
αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ μήκει, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
したがってAH, HDは平方においてのみ通約可能な有理（直線）であり、かつAHは設定された有理（直線）ACと長さにおいて通約可能であり、かつ全体 AHは付加線DHよりも、自身と長さにおいて通約不可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きい。
ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ.
したがって、AHがHDよりも、自身と長さにおいて通約不可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きいので、もしDH上の正方形の4分の1に等しい（矩形）が、正方形の不足を伴ってAHに沿って応用されるならば、それは彼女（AH）を通約不可能なもの（線分）に分割する。
τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ·
したがって、DHがEにおいて2等分されたとせよ。 そして、EH上の正方形に等しい（矩形）が、正方形の不足を伴ってAHに沿って応用されたとせよ、そしてそれをAZ, ZHによって囲まれる（矩形）とせよ。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ μήκει ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ. ἤχθωσαν οὖν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η παράλληλοι ταῖς ΑΓ, ΒΔ αἱ ΕΘ, ΖΙ, ΗΚ. ἐπεὶ οὖν ῥητή ἐστιν ἡ ΑΗ καὶ σύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει, ῥητὸν ἄρα ἐστὶν ὅλον τὸ ΑΚ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΗ τῇ ΑΓ μήκει, καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΚ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ. συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΛΟΜ τὸ ΝΞ. περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα.
したがってAZはZHと長さにおいて通約不可能である。 したがって、点E, Z, Hを通ってAC, BDに平行な直線EG, ZI, HKが引かれたとせよ。 さて、AHは有理であってACと長さにおいて通約可能であるから、したがって全体AKは有理である。 再び、DHがACと長さにおいて通約不可能であって、かつ両者が有理であるから、したがってDKは中項である。 再び、AZがZHと長さにおいて通約不可能であるから、したがって領域AIもZKと通約不可能である。 したがって、AIに等しい正方形LMが作られ、かつZKに等しい正方形NXが、LOMによって囲まれる角と角を共通にして差し引かれたとせよ。 したがって正方形LM, NXは同一の対角線の周りにある。
ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
それらの対角線をOPとし、図形が完成されたとせよ。
ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ, ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ·
さて、 AZ, ZHによって囲まれる長方形がEH上の正方形と等しいから、したがって比例により、AZのEHに対する比は、EHのZHに対する比と等しい。 しかし、AZのEHに対する比はAIのEKに対する比と等しく、かつEHのZHに対する比は、EKのZKに対する比と等しい。
τῶν ἄρα ΑΙ, ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ, τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ·
したがって、AI, ZKの比例中項はEKである。 しかし、正方形LM, NXの比例中項もまたMNであり、そしてAIはLMと等しく、かつZKはNXと等しい。
καὶ τὸ ΕΚ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝ. ἀλλὰ τῷ μὲν ΕΚ ἴσον ἐστὶ τὸ ΔΘ, τῷ δὲ ΜΝ ἴσον ἐστὶ τὸ ΛΞ·
したがって、EKもMNと等しい。 しかし、EKはDGと等しく、かつMNはLXと等しい。
ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἐπεὶ οὖν ὅλον τὸ ΑΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ΛΜ, ΝΞ τετραγώνοις, ὧν τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ τετραγώνῳ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΛΝ τετραγώνῳ·
したがって、全体DKはグノーモンUFXとNX（の和）に等しい。 さて、全体AKは正方形LM, NX（の和）に等しく、そのうちDKはグノーモンUFXと正方形NX（の和）に等しいから、したがって残りのABはST、すなわちLN上の正方形に等しい。
ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
したがってLNは領域ABを平方する。
λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.
今や、私はLNが「より小さい（直線）」と呼ばれる無理線であると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστι τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ τετραγώνοις, τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ ῥητόν ἐστιν.
というのも、AKは有理であって、かつそれはLO, ON上の正方形の和に等しいから、したがってLO, ON上の正方形の和は有理である。
πάλιν, ἐπεὶ τὸ ΔΚ μέσον ἐστίν, καί ἐστιν ἴσον τὸ ΔΚ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν.
再び、DKは中項であって、かつDKはLO, ONによって囲まれる（矩形）の2倍に等しいから、したがってLO, ONによって囲まれる（矩形）の2倍は中項である。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ τετραγώνῳ.
そして、AIがZKと通約不可能であると示されたから、したがってLO上の正方形もON上の正方形と通約不可能である。
αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον.
したがってLO, ONは平方において通約不可能であり、それら自体（LO, ON）の上の正方形の和を有理にし、かつそれらによって囲まれる（矩形）の2倍を中項にする。
ἡ ΛΝ ἄρα ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων·
したがって、LNは「より小さい」と呼ばれる無理線である。
καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
そしてそれは領域ABを平方する。
ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν·
したがって、領域ABを平方する（直線）は「より小さい（直線）」である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。