§10.prop3.94ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τετάρτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν.
만약 어떤 넓이가 유리선과 제4 아포토메에 의해 둘러싸인다면, 그 넓이를 제곱하는 (선)은 "더 작은 (선)"이다.
χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς τετάρτης τῆς ΑΔ·
넓이 AB가 유리선 AC와 제4 아포토메 AD에 의해 둘러싸여 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν.
나는 넓이 AB를 제곱하는 (선)이 "더 작은 (선)"이라고 주장한다.
ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ·
왜냐하면 AD에 대한 부가선을 DH라고 하자.
αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ μήκει, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
그러므로 AH, HD는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이고, AH는 설정된 유리선 AC와 길이에서 통약할 수 있으며, 전체 AH는 부가선 DH보다 자신과 길이에서 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ.
그러므로 AH가 HD보다 자신과 길이에서 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크므로, 만약 DH 위의 정사각형의 4분의 1과 같은 (직사각형)이 정사각형 모양이 부족한 상태로 AH에 따라 응용된다면, 그것은 그녀(AH)를 길이에서 통약할 수 없는 부분들로 나눈다.
τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ·
그러므로 DH가 E에서 이등분되었다고 하자. 그리고 EH 위의 정사각형과 같은 (직사각형)이 정사각형 모양이 부족한 상태로 AH에 따라 응용되었다고 하고, 그것을 AZ, ZH에 의해 둘러싸인 직사각형이라고 하자.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ μήκει ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ. ἤχθωσαν οὖν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η παράλληλοι ταῖς ΑΓ, ΒΔ αἱ ΕΘ, ΖΙ, ΗΚ. ἐπεὶ οὖν ῥητή ἐστιν ἡ ΑΗ καὶ σύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει, ῥητὸν ἄρα ἐστὶν ὅλον τὸ ΑΚ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΗ τῇ ΑΓ μήκει, καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΚ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ. συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΛΟΜ τὸ ΝΞ. περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα.
그러므로 AZ는 ZH와 길이에서 통약할 수 없다. 그러므로 점 E, Z, H를 지나 AC, BD에 평행한 직선 EG, ZI, HK를 긋자. 그런데 AH는 유리선이면서 AC와 길이에서 통약할 수 있으므로, 그러므로 전체 AK는 유리 영역이다. 다시, DH가 AC와 길이에서 통약할 수 없고 둘 다 유리선이므로, 그러므로 DK는 미디얼 영역이다. 다시, AZ가 ZH와 길이에서 통약할 수 없으므로, 그러므로 넓이 AI도 ZK와 통약할 수 없다. 그러므로 AI와 같은 정사각형 LM을 만들고, ZK와 같은 정사각형 NX를 LOM에 의해 둘러싸인 각과 각을 공통으로 가지도록 빼내자. 그러므로 정사각형 LM, NX는 같은 대각선 주위에 있다.
ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
그것들의 대각선을 OP라 하고, 도형을 완성해 그리자.
ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ, ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ·
그런데 AZ, ZH에 의해 둘러싸인 직사각형이 EH 위의 정사각형과 같으므로, 그러므로 비례에 의해, AZ가 EH에 대해 가지는 비율은 EH가 ZH에 대해 가지는 비율과 같다. 그런데 AZ가 EH에 대해 가지는 비율은 AI가 EK에 대해 가지는 비율과 같고, EH가 ZH에 대해 가지는 비율은 EK가 ZK에 대해 가지는 비율과 같다.
τῶν ἄρα ΑΙ, ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ, τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ·
그러므로 EK는 AI, ZK의 비례중항이다. 그런데 정사각형 LM, NX의 비례중항도 MN이고, AI는 LM과 같으며, ZK는 NX와 같다.
καὶ τὸ ΕΚ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝ. ἀλλὰ τῷ μὲν ΕΚ ἴσον ἐστὶ τὸ ΔΘ, τῷ δὲ ΜΝ ἴσον ἐστὶ τὸ ΛΞ·
그러므로 EK도 MN과 같다. 그런데 EK는 DG와 같고, MN은 LX와 같다.
ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἐπεὶ οὖν ὅλον τὸ ΑΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ΛΜ, ΝΞ τετραγώνοις, ὧν τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ τετραγώνῳ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΛΝ τετραγώνῳ·
그러므로 전체 DK는 그노몬 UFX와 NX의 합과 같다. 그런데 전체 AK는 정사각형 LM, NX의 합과 같고, 그 중 DK는 그노몬 UFX와 정사각형 NX의 합과 같으므로, 그러므로 남은 AB는 ST, 즉 LN 위의 정사각형과 같다.
ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
그러므로 LN은 넓이 AB를 제곱한다.
λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.
이제 나는 LN이 "더 작은 (선)"이라 불리는 무리선이라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστι τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ τετραγώνοις, τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ ῥητόν ἐστιν.
왜냐하면 AK는 유리 영역이고 LO, ON 각각 위의 정사각형의 합과 같으므로, 그러므로 LO, ON 위의 정사각형의 합은 유리적이다.
πάλιν, ἐπεὶ τὸ ΔΚ μέσον ἐστίν, καί ἐστιν ἴσον τὸ ΔΚ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν.
다시, DK는 미디얼 영역이고 DK는 LO, ON에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 같으므로, 그러므로 LO, ON에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배는 미디얼 영역이다.
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ τετραγώνῳ.
그리고 AI가 ZK와 통약할 수 없음이 증명되었으므로, 그러므로 LO 위의 정사각형도 ON 위의 정사각형과 통약할 수 없다.
αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον.
그러므로 LO, ON은 제곱에서 통약할 수 없으며, 그 자체 위의 정사각형들의 합을 유리적으로 만들고, 그것들에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배를 미디얼 영역으로 만든다.
ἡ ΛΝ ἄρα ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων·
그러므로 LN은 "더 작은 (선)"이라 불리는 무리선이다.
καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
그리고 그것은 넓이 AB를 제곱한다.
ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν·
그러므로 넓이 AB를 제곱하는 (선)은 "더 작은 (선)"이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.