§10.prop3.88εὑρεῖν τὴν τετάρτην ἀποτομήν.
求第四离线。
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τῇ Α μήκει σύμμετρος ἡ ΒΗ·
设有一条有理线A，且BH在长度上与A可共测；因此BH也是有理线。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΔΖ, ΖΕ, ὥστε τὸν ΔΕ ὅλον πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΖ, ΕΖ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
并且设两个数ΔΖ、ΖΕ，使得整体ΔΕ与每一个ΔΖ、 ΕΖ之比，不等于平方数与平方数之比。
καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ. σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει.
且使ΔΕ与ΕΖ之比，等于ΒΗ上的正方形与ΗΓ上的正方形之比。 因此ΒΗ上的正方形与ΗΓ上的正方形可共测。 而ΒΗ上的正方形是有理的；因此ΗΓ上的正方形也是有理的；因此ΗΓ是有理线。 且由于ΔΕ与ΕΖ之比，不等于平方数与平方数之比，因此ΒΗ上的正方形与ΗΓ上的正方形之比，也不等于平方数与平方数之比；因此ΒΗ在长度上与ΗΓ不可共测。
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ.
.
且二者皆为有理线；因此ΒΗ、ΗΓ是仅在平方上可共测的有理线；因此ΒΓ是离线。
ὧι οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει.
. 设ΒΗ上的正方形比ΗΓ上的正方形大一个在Θ上的正方形。 由于ΔΕ与 ΕΖ之比，等于ΒΗ上的正方形与ΗΓ上的正方形之比，因此反转比，ΕΔ与ΔΖ之比，等于ΗΒ上的正方形与Θ上的正方形之比。 而ΕΔ与ΔΖ之比，不等于平方数与平方数之比；因此ΗΒ上的正方形与 Θ上的正方形之比，也不等于平方数与平方数之比；因此ΒΗ在长度上与Θ不可共测。
καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ· ἡ ἄρα ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
且ΒΗ比ΗΓ在平方上大一个在Θ上的正方形；因此ΒΗ比ΗΓ在平方上大一个在长度上与自身不可共测的线上的正方形。
καί ἐστιν ὅλη ἡ ΒΗ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ α. ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστι τετάρτη.
而整体ΒΗ在长度上与设定的有理线 A可共测；因此，ΒΓ是第四离线。
εὕρηται ἄρα ἡ τετάρτη ἀποτομή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，求得了第四离线；此即所证。
§10.prop3.89εὑρεῖν τὴν πέμπτην ἀποτομήν.
求第五离线。
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α, καὶ τῇ Α μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΗ·
设有一条有理线A，且设ΓH在长度上与A可共测；因此ΓH是有理线。
ῥητὴ ἄρα ἡ ΓΗ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΔΖ, ΖΕ, ὥστε τὸν ΔΕ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΖ, ΖΕ λόγον πάλιν μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
并且设两个数ΔΖ、ΖΕ，使得整体ΔΕ与每一个ΔΖ、ΖΕ之比，再次不等于平方数与平方数之比。
καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΖΕ πρὸς τὸν ΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ. ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ὁ δὲ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει.
且使ΖΕ与ΕΔ之比，等于ΓH上的正方形与ΗΒ上的正方形之比。 因此，ΗΒ上的正方形也是有理的；因此ΒΗ也是有理线。 且由于ΔΕ与ΕΖ之比，等于ΒΗ上的正方形与ΗΓ上的正方形之比，而ΔΕ与ΕΖ之比，不等于平方数与平方数之比，因此ΒΗ上的正方形与ΗΓ上的正方形之比，也不等于平方数与平方数之比；因此ΒΗ在长度上与ΗΓ不可共测。
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.
且二者皆为有理线；因此ΒΗ、ΗΓ是仅在平方上可共测的有理线；因此ΒΓ是离线。
λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη.
¦20 我且说，它也是第五离线。
ὧι γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, οὕτως ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει.
因为，设ΒΗ上的正方形比ΗΓ上的正方形大一个在Θ上的正方形。 由于ΒΗ上的正方形与ΗΓ上的正方形之比，等于ΔΕ与ΕΖ之比，因此反转比，ΕΔ与ΔΖ之比，等于ΒΗ上的正方形与Θ上的正方形之比。 而ΕΔ与ΔΖ之比，不等于平方数与平方数之比；因此ΒΗ上的正方形与Θ上的正方形之比，也不等于平方数与平方数之比；因此ΒΗ在长度上与Θ不可共测。
καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ· ἡ ΗΒ ἄρα τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
且 ΒΗ比ΗΓ在平方上大一个在Θ上的正方形；因此ΗΒ比ΗΓ在平方上大一个在长度上与自身不可共测的线上的正方形。
καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΓΗ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Α μήκει· ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστι πέμπτη.
且贴合线ΓH在长度上与设定的有理线A可共测；因此ΒΓ是第五离线。
εὕρηται ἄρα ἡ πέμπτη ἀποτομὴ ἡ ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
¦35 因此，求得了第五离线ΒΓ；此即所证。