メディアル領域から有理や別の領域を引く残余

メディアル（領域）から有理（領域）が引かれるとき、別の二つの無理（直線）が生じる。 すなわち、第一のメディアルのアポトメか、あるいは有理（領域）とともに全体をメディアルにする（直線）である。

ἀπὸ γὰρ μέσου τοῦ ΒΓ ῥητὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΒΔ. λέγω, ὅτι ἡ τὸ λοιπὸν τὸ ΕΓ δυναμένη μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἢ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. なぜなら、メディアル（領域）BCから有理（領域）BDが引かれたとせよ。 私は、残りの（領域）EGを平方する（直線）が、二つの無理（直線）のうちの一つ、すなわち第一のメディアルのアポトメか、あるいは有理（領域）とともに全体をメディアルにする（直線）になると主張する。

Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ παραβεβλήσθω ὁμοίως τὰ χωρία. ἔστι δὴ ἀκολούθως ῥητὴ μὲν ἡ ΖΘ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει, ῥητὴ δὲ ἡ ΚΖ καὶ σύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει· なぜなら、有理（直線）ZHが置かれたとし、同様に（それらの）領域が適用されたとせよ。 すると、結果として、ZΘは有理であり、かつ ZHと長さにおいて通約不可能であり、KZは有理であり、かつZHと長さにおいて通約可能である。

αἱ ΖΘ, ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ, προσαρμόζουσα δὲ ταύτῃ ἡ ΖΚ. ἤτοι δὴ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου. したがって、ZΘ, ZKは平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。 したがって、KΘはアポトメであり、ZKはこれに対する付加線である。 そこで、ΘZ（の平方）はZK（の平方）よりも、自身に通約可能な（直線上の正方形）の分だけ平方において大きいか、あるいは通約不可能な（直線上の正方形）の分だけ平方において大きい。

εἰ μὲν οὖν ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΚ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ δευτέρα ἐστὶν ἡ ΚΘ. ῥητὴ δὲ ἡ ΖΗ· ὥστε ἡ τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἐστίν. もし、ΘZがZKよりも、自身に（長さにおいて）通約可能な（直線上の正方形）の分だけ平方において大きく、かつ付加線ZKが置かれた有理（直線）ZHと長さにおいて通約可能であるならば、KΘは第二のアポトメである。 そしてZHは有理である。

したがって、 LΘ、すなわちEGを平方する（直線）は、第一のメディアルのアポトメである。

εἰ δὲ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου, καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΚ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ πέμπτη ἐστὶν ἡ ΚΘ· ὥστε ἡ τὸ ΕΓ δυναμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. しかし、もしΘZがZKよりも、自身に通約不可能な（直線上の正方形）の分だけ平方において大きく、かつ付加線ZKが置かれた有理（直線）ZHと長さにおいて通約可能であるならば、KΘは第五のアポトメである。

したがって、EGを平方する（直線）は、有理（領域）とともに全体をメディアルにする（直線）である。

これが示すべきことであった。

全体と通約不可能なメディアル（領域）からメディアル（領域）が引かれるとき、残りの二つの無理（直線）が生じる。 すなわち、第二のメディアルのアポトメか、あるいはメディアル（領域）とともに全体をメディアルにする（直線）である。

ἀφῃρήσθω γὰρ ὡς ἐπὶ τῶν προκειμένων καταγραφῶν ἀπὸ μέσου τοῦ ΒΓ μέσον τὸ ΒΔ ἀσύμμετρον τῷ ὅλῳ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΕΓ δυναμένη μία ἐστὶ δύο ἀλόγων ἤτοι μέσης ἀποτομὴ δευτέρα ἢ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. なぜなら、前述の図形におけるように、メディアル（領域）BCから、全体と通約不可能なメディアル（領域）BDが引かれたとせよ。

私は、EGを平方する（直線）が、二つの無理（直線）のうちの一つ、すなわち第二のメディアルのアポトメか、あるいはメディアル（領域）とともに全体をメディアルにする（直線）になると主張する。

ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΒΓ, ΒΔ, καὶ ἀσύμμετρον τὸ ΒΓ τῷ ΒΔ, ἔσται ἀκολούθως ῥητὴ ἑκατέρα τῶν ΖΘ, ΖΚ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΒΓ τῷ ΒΔ, τουτέστι τὸ ΗΘ τῷ ΗΚ, ἀσύμμετρος καὶ ἡ ΘΖ τῇ ΖΚ· αἱ ΖΘ, ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ. なぜなら、BC, BDのそれぞれはメディアルであり、かつ BCはBDと通約不可能であるから、結果としてZΘ, ZKのそれぞれは有理であり、かつZHと長さにおいて通約不可能である。

そして、BCはBDと通約不可能、すなわちHΘはHKと通約不可能であるから、ΘZもZKと通約不可能である。

したがって、ZΘ, ZKは平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。

したがって、KΘはアポトメである。

εἰ μὲν δὴ ἡ ΖΘ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ οὐθετέρα τῶν ΖΘ, ΖΚ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ τρίτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. ῥητὴ δὲ ἡ ΚΛ, τὸ δʼ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τρίτης περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν, καλεῖται δὲ μέσης ἀποτομὴ δευτέρα· ὥστε ἡ τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα. もし、ZΘがZKよりも、自身に（長さにおいて）通約可能な（直線上の正方形）の分だけ平方において大きく、かつZΘ, ZKのどちらも置かれた有理（直線）ZHと長さにおいて通約可能でないならば、KΘは第三のアポトメである。 そしてKΛは有理である。 ところで、有理（直線）と第三のアポトメによって囲まれる長方形は無理（領域）であり、かつそれを平方する（直線）は無理（直線）であり、第二のメディアルのアポトメと呼ばれる。

したがって、LΘ、すなわちEGを平方する（直線）は、第二のメディアルのアポトメである。

εἰ δὲ ἡ ΖΘ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ οὐθετέρα τῶν ΘΖ, ΖΚ σύμμετρός ἐστι τῇ ΖΗ μήκει, ἀποτομὴ ἕκτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. τὸ δʼ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς ἕκτης ἡ δυναμένη ἐστὶ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. ἡ τὸ ΛΘ ἄρα, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. しかし、もしZΘがZKよりも、自身に（長さにおいて）通約不可能な（直線上の正方形）の分だけ平方において大きく、かつΘZ, ZKのどちらもZHと長さにおいて通約可能でないならば、KΘは第六のアポトメである。 ところで、有理（直線）と第六のアポトメによって囲まれる（領域）を平方する（直線）は、メディアル（領域）とともに全体をメディアルにする（直線）である。

したがって、LΘ、すなわちEGを平方する（直線）は、メディアル（領域）とともに全体をメディアルにする（直線）である。

これが示すべきことであった。