§10.prop3.107ἡ τῇ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ σύμμετρος καὶ αὐτὴ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
メディアル（領域）とともに全体をメディアルにする（直線）に通約可能な（直線）は、それ自体もまた、メディアル（領域）とともに全体をメディアルにする（直線）である。
ἔστω μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ ἔστω σύμμετρος ἡ ΓΔ·
ABをメディアル（領域）とともに全体をメディアルにする（直線）とし、ABに（長さにおいて）通約可能な直線をGDとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
私は、GDもまたメディアル（領域）とともに全体をメディアルにする（直線）であると主張する。
ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ, καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω·
なぜなら、ABに対する付加線をBEとし、同じ作図がなされたとせよ。
αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων τῷ ὑπʼ αὐτῶν.
したがって、AE, EBは平方において通約不可能であり、自身（の上）の正方形の和をメディアルに、それらによって囲まれる（矩形）をメディアルにし、さらに、自身（の上）の正方形の和をそれらによって囲まれる（矩形）と通約不可能にするものである。
καί εἰσιν, ὡς ἐδείχθη, αἱ ΑΕ, ΕΒ σύμμετροι ταῖς ΓΖ, ΖΔ, καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ·
そして、示されたように、AE, EBはGZ, ZDと（長さにおいて）通約可能であり、AE, EB上の正方形の和は、GZ, ZD上の正方形の和と通約可能であり、AE, EBによって囲まれる（矩形）は、GZ, ZDによって囲まれる（矩形）と通約可能である。
καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τῷ ὑπʼ αὐτῶν.
したがって、GZ, ZDも平方において通約不可能であり、自身（の上）の正方形の和をメディアルに、それらによって囲まれる（矩形）をメディアルにし、さらに、自身（の上）の正方形の和をそれらによって囲まれる（矩形）と通約不可能にするものである。
ἡ ΓΔ ἄρα μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν·
したがって、GDはメディアル（領域）とともに全体をメディアルにする（直線）である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop3.108ἀπὸ ῥητοῦ μέσου ἀφαιρουμένου ἡ τὸ λοιπὸν χωρίον δυναμένη μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι ἀποτομὴ ἢ ἐλάσσων.
有理（領域）からメディアル（領域）が引かれるとき、残りの領域を平方する（直線）は、二つの無理（直線）のうちの一つ、すなわち、アポトメーか、あるいはより小さい（直線）になる。
ἀπὸ γὰρ ῥητοῦ τοῦ ΒΓ μέσον ἀφῃρήσθω τὸ ΒΔ·
なぜなら、有理（領域）BCからメディアル（領域）BDが引かれたとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ τὸ λοιπὸν δυναμένη τὸ ΕΓ μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι ἀποτομὴ ἢ ἐλάσσων.
私は、残りの（領域）EGを平方する（直線）が、二つの無理（直線）のうちの一つ、すなわち、アポトメーか、あるいはより小さい（直線）になると主張する。
Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ τῷ μὲν ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΖΗ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΘ, τῷ δὲ ΔΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΗΚ·
なぜなら、有理（直線）ZHが置かれたとし、ZHに沿って、BCに等しい長方形HΘが適用され、DBに等しい（長方形）HKが引かれたとせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ΛΘ. ἐπεὶ οὖν ῥητὸν μέν ἐστι τὸ ΒΓ, μέσον δὲ τὸ ΒΔ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΒΓ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΒΔ τῷ ΗΚ, ῥητὸν μὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘ, μέσον δὲ τὸ ΗΚ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΗ παράκειται·
したがって残りの EGはLΘに等しい。 したがって残りの EGはLΘに等しい。そこで、BCは有理であり、BDはメディアルであり、BCはHΘに等しく、BDはHKに等しいから、したがって、HΘは有理であり、HKはメディアルである。そして、それらは有理（直線）ZHに沿って適用されている。 そして、それらは有理（直線）ZHに沿って適用されている。
ῥητὴ μὲν ἄρα ἡ ΖΘ καὶ σύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει, ῥητὴ δὲ ἡ ΖΚ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει·
したがって、ZΘは有理であり、かつZHと長さにおいて通約可能であり、ZKは有理であり、かつ ZHと長さにおいて通約不可能である。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ τῇ ΖΚ μήκει.
したがって、ZΘはZKと長さにおいて通約不可能である。
αἱ ΖΘ, ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、ZΘ, ZKは平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΚΖ. ἤτοι δὴ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἢ οὔ. δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου.
したがって、KΘはアポトメーであり、KZはそれに付加する（直線）である。 したがって、KΘはアポトメーであり、KZはそれに付加する（直線）である。そこで、ΘZ（の平方）はZK（の平方）よりも、自身に通約可能な（直線上の正方形）の分だけ平方において大きいか、あるいは大きくない。まず、通約可能な（直線上の正方形）の分だけ平方において大きいとせよ。 まず、通約可能な（直線上の正方形）の分だけ平方において大きいとせよ。
καί ἐστιν ὅλη ἡ ΘΖ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ·
そして、全体ΘZは、置かれた有理（直線）ZHと長さにおいて通約可能である。
ἀποτομὴ ἄρα πρώτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. τὸ δʼ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς πρώτης περιεχόμενον ἡ δυναμένη ἀποτομή ἐστιν. ἡ ἄρα τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη ἀποτομή ἐστιν.
したがって、KΘは第一のアポトメーである。 したがって、KΘは第一のアポトメーである。ところで、有理（直線）と第一のアポトメーによって囲まれる（矩形）を平方する（直線）は、アポトメーである。したがって、LΘ、すなわちEGを平方する（直線）は、アポトメーである。 したがって、LΘ、すなわちEGを平方する（直線）は、アポトメーである。
εἰ δὲ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καί ἐστιν ὅλη ἡ ΖΘ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ τετάρτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. τὸ δʼ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τετάρτης περιεχόμενον ἡ δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν·
しかし、もし ΘΖ が ΖΚ よりも、自身に（長さにおいて）通約不可能な（直線上の正方形）の分だけ平方において大きく、かつ全体 ΖΘ が、定められた有理（直線）ΖΗ と長さにおいて通約可能であるならば、ΚΘ は第四のアポトメーである。 ところで、有理（直線）と第四のアポトメーとによって囲まれる（矩形）を平方する（直線）は、より小さい（直線）である。これが証明すべきことであった。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。