§10.prop3.109ἀπὸ μέσου ῥητοῦ ἀφαιρουμένου ἄλλαι δύο ἄλογοι γίνονται ἤτοι μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἢ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.
미디얼 영역에서 유리 영역을 뺄 때, 다른 두 개의 무리 직선이 생기니, 곧 제1 미디얼 아포토메이거나 또는 유리 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이다.
ἀπὸ γὰρ μέσου τοῦ ΒΓ ῥητὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΒΔ. λέγω, ὅτι ἡ τὸ λοιπὸν τὸ ΕΓ δυναμένη μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἢ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.
왜냐하면 미디얼 영역 BC에서 유리 영역 BD가 빼어졌다고 하자. 나는 나머지 영역 EG를 제곱하는 직선이 두 개의 무리 직선 중 하나, 즉 제1 미디얼 아포토메이거나 또는 유리 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이 된다고 주장한다. 왜냐하면 미디얼 영역 BC에서 유리 영역 BD가 빼어졌다고 하자. 나는 나머지 영역 EG를 제곱하는 직선이 두 개의 무리 직선 중 하나, 즉 제1 미디얼 아포토메이거나 또는 유리 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이 된다고 주장한다.
Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ παραβεβλήσθω ὁμοίως τὰ χωρία.
유리 직선 ZH가 주어졌다고 하고, 같은 방식으로 영역들을 적용하자.
ἔστι δὴ ἀκολούθως ῥητὴ μὲν ἡ ΖΘ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει, ῥητὴ δὲ ἡ ΚΖ καὶ σύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει·
그러면 결과적으로 ZΘ는 유리 직선이고 ZH와 길이에서 통약할 수 없으며, KZ는 유리 직선이고 ZH와 길이에서 통약할 수 있다. 그러면 결과적으로 ZΘ는 유리 직선이고 ZH와 길이에서 통약할 수 없으며, KZ는 유리 직선이고 ZH와 길이에서 통약할 수 있다.
αἱ ΖΘ, ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ, προσαρμόζουσα δὲ ταύτῃ ἡ ΖΚ. ἤτοι δὴ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.
그러므로 ZΘ, ZK는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리 직선이다. 그러므로 KΘ는 아포토메이고, ZK는 이에 대한 부가선이다. 그러면 ΘZ는 ZK보다 제곱에서 자신과 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크거나, 또는 통약할 수 없는 선 위의 정사각형만큼 더 크다. 그러므로 KΘ는 아포토메이고, ZK는 이에 대한 부가선이다. 그러면 ΘZ는 ZK보다 제곱에서 자신과 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크거나, 또는 통약할 수 없는 선 위의 정사각형만큼 더 크다. 그러므로 ZΘ, ZK는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리 직선이다. 그러므로 KΘ는 아포토메이고, ZK는 이에 대한 부가선이다. 그러므로 ΘZ는 ZK보다 제곱에서 자신과 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크거나, 또는 통약할 수 없는 선 위의 정사각형만큼 더 크다.
εἰ μὲν οὖν ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΚ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ δευτέρα ἐστὶν ἡ ΚΘ. ῥητὴ δὲ ἡ ΖΗ· ὥστε ἡ τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἐστίν.
그러므로 만약 ΘZ가 ZK보다 제곱에서 자신과 길이에서 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크고, 부가선 ZK가 주어진 유리 직선 ZH와 길이에서 통약할 수 있다면, KΘ는 제2 아포토메이다. 그리고 ZH는 유리 직선이다. 그러므로 만약 ΘZ가 ZK보다 제곱에서 자신과 길이에서 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크고, 부가선 ZK가 주어진 유리 직선 ZH와 길이에서 통약할 수 있다면, KΘ는 제2 아포토메이다. 그리고 ZH는 유리 직선이다. 그러므로 LΘ, 즉 EG를 제곱하는 직선은 제1 미디얼 아포토메이다. 만약 ΘZ가 ZK보다 제곱에서 자신과 길이에서 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크고, 부가선 ZK가 주어진 유리 직선 ZH와 길이에서 통약할 수 있다면, KΘ는 제2 아포토메이다. 그리고 ZH는 유리 직선이다. 그러므로 LΘ, 즉 EG를 제곱하는 직선은 제1 미디얼 아포토메이다.
εἰ δὲ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου, καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΚ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ πέμπτη ἐστὶν ἡ ΚΘ· ὥστε ἡ τὸ ΕΓ δυναμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러나 만약 ΘZ가 ZK보다 제곱에서 자신과 통약할 수 없는 선 위의 정사각형만큼 더 크고, 부가선 ZK가 주어진 유리 직선 ZH와 길이에서 통약할 수 있다면, KΘ는 제5 아포토메이다. 그러므로 EG를 제곱하는 직선은 유리 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이다. 이것이 보여야 할 일이었다. 그러나 만약 ΘZ가 ZK보다 제곱에서 자신과 통약할 수 없는 선 위의 정사각형만큼 더 크고, 부가선 ZK가 주어진 유리 직선 ZH와 길이에서 통약할 수 있다면, KΘ는 제5 아포토메이다. 그러므로 EG를 제곱하는 직선은 유리 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이다. 이것이 보여야 할 일이었다.
§10.prop3.110ἀπὸ μέσου μέσου ἀφαιρουμένου ἀσυμμέτρου τῷ ὅλῳ αἱ λοιπαὶ δύο ἄλογοι γίνονται ἤτοι μέσης ἀποτομὴ δευτέρα ἢ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.
전체와 통약할 수 없는 미디얼 영역에서 미디얼 영역을 뺄 때, 나머지 두 개의 무리 직선이 생기니, 곧 제2 미디얼 아포토메이거나 또는 미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이다.
ἀφῃρήσθω γὰρ ὡς ἐπὶ τῶν προκειμένων καταγραφῶν ἀπὸ μέσου τοῦ ΒΓ μέσον τὸ ΒΔ ἀσύμμετρον τῷ ὅλῳ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΕΓ δυναμένη μία ἐστὶ δύο ἀλόγων ἤτοι μέσης ἀποτομὴ δευτέρα ἢ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.
앞의 도형들에서처럼, 미디얼 영역 BC에서 전체와 통약할 수 없는 미디얼 영역 BD가 빼어졌다고 하자. 나는 EG를 제곱하는 직선이 두 개의 무리 직선 중 하나, 즉 제2 미디얼 아포토메이거나 또는 미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이 된다고 주장한다. 앞의 도형들에서처럼, 미디얼 영역 BC에서 전체와 통약할 수 없는 미디얼 영역 BD가 빼어졌다고 하자. 나는 EG를 제곱하는 직선이 두 개의 무리 직선 중 하나, 즉 제2 미디얼 아포토메이거나 또는 미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이 된다고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΒΓ, ΒΔ, καὶ ἀσύμμετρον τὸ ΒΓ τῷ ΒΔ, ἔσται ἀκολούθως ῥητὴ ἑκατέρα τῶν ΖΘ, ΖΚ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει.
왜냐하면 BC, BD 각각은 미디얼 영역이고, BC는 BD와 통약할 수 없으므로, 결과적으로 ZΘ, ZK 각각은 유리 직선이고 ZH와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΒΓ τῷ ΒΔ, τουτέστι τὸ ΗΘ τῷ ΗΚ, ἀσύμμετρος καὶ ἡ ΘΖ τῇ ΖΚ· αἱ ΖΘ, ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ.
그리고 BC는 BD와 통약할 수 없으므로, 즉 HΘ는 HK와 통약할 수 없으므로, ΘZ도 ZK와 통약할 수 없다. 그러므로 ZΘ, ZK는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리 직선이다. 그러므로 KΘ는 아포토메이다. 왜냐하면 BC, BD 각각은 미디얼 영역이고, BC는 BD와 통약할 수 없으므로, 결과적으로 ZΘ, ZK 각각은 유리 직선이고 ZH와 길이에서 통약할 수 없다. 그리고 BC는 BD와 통약할 수 없으므로, 즉 HΘ는 HK와 통약할 수 없으므로, ΘZ도 ZK와 통약할 수 없다. 그러므로 ZΘ, ZK는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리 직선이다. 그러므로 KΘ는 아포토메이다.
εἰ μὲν δὴ ἡ ΖΘ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ οὐθετέρα τῶν ΖΘ, ΖΚ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ τρίτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. ῥητὴ δὲ ἡ ΚΛ, τὸ δʼ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τρίτης περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν, καλεῖται δὲ μέσης ἀποτομὴ δευτέρα· ὥστε ἡ τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα.
만약 ZΘ가 ZK보다 제곱에서 자신과 길이에서 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크고, ZΘ, ZK 중 어느 것도 주어진 유리 직선 ZH와 길이에서 통약할 수 없다면, KΘ는 제3 아포토메이다. 그리고 KL은 유리 직선이다. 그런데 유리 직선과 제3 아포토메에 의해 둘러싸인 직사각형은 무리 영역이고, 그것을 제곱하는 직선은 무리 직선이며, 제2 미디얼 아포토메라고 불린다. 만약 ZΘ가 ZK보다 제곱에서 자신과 길이에서 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크고, ZΘ, ZK 중 어느 것도 주어진 유리 직선 ZH와 길이에서 통약할 수 없다면, KΘ는 제3 아포토메이다. 그리고 KL은 유리 직선이다. 그런데 유리 직선과 제3 아포토메에 의해 둘러싸인 직사각형은 무리 영역이고, 그것을 제곱하는 직선은 무리 직선이며, 제2 미디얼 아포토메라고 불린다. 그러므로 LΘ, 즉 EG를 제곱하는 직선은 제2 미디얼 아포토메 이다. 만약 ZΘ가 ZK보다 제곱에서 자신과 길이에서 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크고, ZΘ, ZK 중 어느 것도 주어진 유리 직선 ZH와 길이에서 통약할 수 없다면, KΘ는 제3 아포토메이다. 그리고 KL은 유리 직선이다. 그런데 유리 직선과 제3 아포토메에 의해 둘러싸인 직사각형은 무리 영역이고, 그것을 제곱하는 직선은 무리 직선이며, 제2 미디얼 아포토메라고 불린다. 그러므로 LΘ, 즉 EG를 제곱하는 직선은 제2 미디얼 아포토메 이다.
εἰ δὲ ἡ ΖΘ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ οὐθετέρα τῶν ΘΖ, ΖΚ σύμμετρός ἐστι τῇ ΖΗ μήκει, ἀποτομὴ ἕκτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. τὸ δʼ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς ἕκτης ἡ δυναμένη ἐστὶ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. ἡ τὸ ΛΘ ἄρα, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러나 만약 ZΘ가 ZK보다 제곱에서 자신과 길이에서 통약할 수 없는 선 위의 정사각형만큼 더 크고, ΘZ, ZK 중 어느 것도 ZH와 길이에서 통약할 수 없다면, KΘ는 제6 아포토메이다. 그런데 유리 직선과 제6 아포토메에 의해 둘러싸인 영역을 제곱하는 직선은 미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이다. 그러나 만약 ZΘ가 ZK보다 제곱에서 자신과 길이에서 통약할 수 없는 선 위의 정사각형만큼 더 크고, ΘZ, ZK 중 어느 것도 ZH와 길이에서 통약할 수 없다면, KΘ는 제6 아포토메이다. 그런데 유리 직선과 제6 아포토메에 의해 둘러싸인 영역을 제곱하는 직선은 미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이다. 그러므로 LΘ, 즉 EG를 제곱하는 직선은 미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이다. 이것이 보여야 할 일이었다. 그러나 만약 ZΘ가 ZK보다 제곱에서 자신과 길이에서 통약할 수 없는 선 위의 정사각형만큼 더 크고, ΘZ, ZK 중 어느 것도 ZH와 길이에서 통약할 수 없다면, KΘ는 제6 아포토메이다. 그런데 유리 직선과 제6 아포토메에 의해 둘러싸인 영역을 제곱하는 직선은 미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이다. 그러므로 LΘ, 즉 EG를 제곱하는 직선은 미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이다. 이것이 보여야 할 일이었다.