マイナー直線等に通約可能な直線の性質

より小さい（直線）に通約可能な（直線）は、より小さい（直線）である。

ἔστω γὰρ ἐλάσσων ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ἐλάσσων ἐστίν. なぜなら、ABをより小さい（直線）とし、ABに（長さにおいて）通約可能な直線をGDとせよ。

私は、GDもまたより小さい（直線）であると主張する。

γεγονέτω γὰρ τὰ αὐτά· καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι. というのも、同じ作図がなされたとせよ。

そして、AE, EBは平方において通約不可能であるから、したがってGZ, ZDもまた平方において通約不可能である。

ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΔ. そこで、AEのEBに対する比が、GZのZDに対する比のようであるから、したがって、AE上の正方形の、EB上の正方形に対する比もまた、GZ上の正方形の、ZD上の正方形に対する比のようである。 συνθέντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΔ· σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ· σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων. したがって合比すれば、AE, EB上の正方形の和の、EB上の正方形に対する比は、GZ, ZD上の正方形の和の、ZD上の正方形に対する比のようである。 しかし、BE上の正方形はDZ上の正方形と通約可能である。 したがって、AE, EB上の正方形の和も、 GZ, ZD上の正方形の和と通約可能である。

ῥητὸν δέ ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, そして、AE, EB上の正方形 of の和は有理である。 したがって、GZ, ZD上の正方形の和も有理である。 再び、AE上の正方形の、AE, EBによって囲まれる（矩形）に対する比が、 GZ上の正方形の、GZ, ZDによって囲まれる（矩形）に対する比のようであるから、 σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ τετραγώνῳ, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον. そしてAE上の正方形はGZ上の正方形と通約可能である。 したがって、AE, EBによって囲まれる（矩形）も、GZ, ZDによって囲まれる（矩形）と通約可能である。 しかし、AE, EBによって囲まれる（矩形）はメディアルである。

したがって、GZ, ZDによって囲まれる（矩形）もメディアルである。

したがって、GZ, ZDは平方において通約不可能であり、自身（の上）の正方形の和を有理に、自身によって囲まれる（矩形）をメディアルにするものである。

ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. したがって、GDはより小さい（直線）である。

これが示すべきことであった。

有理（領域）とともに全体をメディアルにする（直線）に通約可能な（直線）は、有理（領域）とともに全体をメディアルにする（直線）である。

ἔστω μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. ABを有理（領域）とともに全体をメディアルにする（直線）とし、ABに通約可能な直線をGDとせよ。

私は、GDもまた有理（領域）とともに全体をメディアルにする（直線）であると主張する。

ἔστω γὰα τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν. καὶ τὰ αὐτά· κατεσκευάσθω. というのも、ABに対する付加線をBEとせよ。 したがってAE, EBは平方において通約不可能であり、AE, EB上の正方形の和をメディアルに、それらによって囲まれる（矩形）を有理にするものである。 そして同じ作図がなされたとせよ。

ὁμοίως δὴ δείξομεν τοῖς πρότερον, ὅτι αἱ ΓΖ, ΖΔ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ ταῖς ΑΕ, ΕΒ, καὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· そこで同様に我々は、GZ, ZDがAE, EBと同じ比にあること、および、AE, EB上の正方形の和はGZ, ZD上の正方形の和と通約可能であり、 AE, EBによって囲まれる（矩形）はGZ, ZDによって囲まれる（矩形）と通約可能であることを示すであろう。

ὥστε καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν. したがって、GZ, ZDも平方において通約不可能であり、GZ, ZD上の正方形の和をメディアルに、それらによって囲まれる（矩形）を有理にするものである。

ἡ ΓΔ ἄρα μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. したがって、GDは有理（領域）とともに全体をメディアルにする（直線）である。

これが示すべきことであった。