§10.prop3.103ἡ τῇ ἀποτομῇ μήκει σύμμετρος ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή.
アポトメーに長さにおいて通約可能な（直線）はアポトメーであり、かつ順序においてもそれと同じである。
ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.
ἐπεὶ γὰρ ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
ABをアポトメーとし、ABに長さにおいて通約可能な（直線）をGDとせよ。私は、GDもアポトメーであり、かつ順序において ABと同じであると主張する。というのも、ABはアポトメーであるから、それに対する付加線をBEとせよ。 したがってAE, EBは平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。
καὶ τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ λόγῳ ὁ αὐτὸς γεγονέτω ὁ τῆς ΒΕ πρὸς τὴν ΔΖ·
そして、ABのGDに対する比と同じ比を、BEのDZに対する比とせよ。
καὶ ὡς ἓν ἄρα πρὸς ἕν, πάντα πρὸς πάντα·
したがって、1つに対する 1つのように、すべてのものに対するすべてのものが成り立つ。
ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ὅλη ἡ ΑΕ πρὸς ὅλην τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ. σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει.
したがって、全体AEの全体GZに対する比もまた、ABのGDに対する比のようである。 しかし、ABはGDと長さにおいて通約可能である。
σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΕ μὲν τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΔΖ. καὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、AEもGZと、BEもDZと（それぞれ長さにおいて）通約可能である。 そして、AE, EBは平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。
καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
したがって、GZ, ZDもまた平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΔΖ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ. ἤτοι δὴ ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.
そこで、AEのGZに対する比が、BEのDZに対する比のようであるから、したがって交互に、AEのEBに対する比は、 GZのZDに対する比のようである。 ところで、AEはEBよりも、自身と通約可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きいか、あるいは通約不可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きいかのいずれかである。
εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
もしそれゆえ、AEがEBよりも自身と通約可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きいならば、GZもZDよりも自身と通約可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きくなるであろう。
καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΓΖ, εἰ δὲ ἡ ΒΕ, καὶ ἡ ΔΖ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΓΖ, ΖΔ. εἰ δὲ ἡ ΑΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
そして、もしAEが設定された有理（直線）と長さにおいて通約可能ならば、GZもそうであり、もしBEが（通約可能）ならば、DZもそうであり、もしAE, EBのいずれでもないならば、GZ, ZDのいずれでもない。 もしAEが（EBよりも）自身と通約不可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きいならば、GZもZDよりも自身と通約不可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きくなるであろう。
καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΓΖ, εἰ δὲ ἡ ΒΕ, καὶ ἡ ΔΖ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὐδετέρα τῶν ΓΖ, ΖΔ.
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ·
そして、もしAEが設定された有理（直線）と長さにおいて通約可能ならば、GZもそうであり、もしBEが（通約可能）ならば、DZもそうであり、もしAE, EBのいずれでもないならば、GZ, ZDのいずれでもない。 したがって、GDはアポトメーであり、かつ順序においてABと同じである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop3.104ἡ τῇ μέσης ἀποτομῇ σύμμετρος μέσης ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή.
メディアル・アポトメーに（長さにおいて）通約可能な（直線）はメディアル・アポトメーであり、かつ順序においてそれと同じである。
ἔστω μέσης ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ·
ABをメディアル・アポトメーとし、ABに長さにおいて通約可能な直線をGDとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μέσης ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.
ἐπεὶ γὰρ μέσης ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΕΒ. αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.
私は、GDもメディアル・アポトメーであり、かつ順序において ABと同じであると主張する。 というのも、ABはメディアル・アポトメーであるから、それに対する付加線をEBとせよ。 したがってAE, EBは平方においてのみ通約可能なメディアル（直線）である。
καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΔΖ·
そして、ABのGDに対する比を、BEのDZに対する比とするようにせよ。
σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΔΖ. αἱ δὲ ΑΕ, ΕΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、AEもGZと、BEもDZと（長さにおいて）通約可能である。 しかし、AE, EBは平方においてのみ通約可能なメディアル（直線）である。
καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、GZ, ZDもまた平方においてのみ通約可能なメディアル（直線）である。
μέσης ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἡ ΓΔ.
λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ τάξει ἐστὶν ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.
ἐπεὶ ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ.
したがって、GDはメディアル・アポトメーである。 さて、私はそれが順序においてもABと同じであると主張する。 というのも、AEのEBに対する比が、GZのZDに対する比のようであるから、したがって、AE上の正方形の、AE, EBによって囲まれる（矩形）に対する比もまた、GZ上の正方形の、GZ, ZDによって囲まれる（矩形）に対する比のようである。
σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ·
しかし、AE上の正方形はGZ上の正方形と通約可能である。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. εἴτε οὖν ῥητόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ῥητὸν ἔσται καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, εἴτε μέσον τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, μέσον καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ.
μέσης ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἡ ΓΔ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ·
したがって、 AE, EBによって囲まれる（矩形）もまた、GZ, ZDによって囲まれる（矩形）と通約可能である。 それゆえ、もしAE, EBによって囲まれる（矩形）が有理ならば、GZ, ZDによって囲まれる（矩形）も有理であろうし、もしAE, EBによって囲まれる（矩形）がメディアルならば、GZ, ZDによって囲まれる（矩形）もメディアルであろう。 したがって、GDはメディアル・アポトメーであり、かつ順序においてABと同じである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。