§10.prop3.105ἡ τῇ ἐλάσσονι σύμμετρος ἐλάσσων ἐστίν.
마이너선과 통약할 수 있는 직선은 마이너선이다.
ἔστω γὰρ ἐλάσσων ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ἐλάσσων ἐστίν.
왜냐하면 AB를 마이너선이라 하고, GD는 AB와 통약할 수 있다고 하자. 나는 GD도 마이너선이라고 주장한다. AB를 마이너선이라고 하고, GD는 AB와 통약할 수 있다고 하자. 나는 GD도 마이너선이라고 주장한다.
γεγονέτω γὰρ τὰ αὐτά· καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι.
왜냐하면 같은 작도가 이루어졌다고 하자. 그리고 AE, EB는 제곱에서 통약할 수 없으므로, GZ, ZD도 제곱에서 통약할 수 없다. 왜냐하면 같은 작도가 이루어졌다고 하자. 그리고 AE, EB는 제곱에서 통약할 수 없으므로, GZ, ZD도 제곱에서 통약할 수 없다.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΔ. συνθέντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΔ· σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ· σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων.
그러므로 AE의 EB에 대한 비율이 GZ의 ZD에 대한 비율과 같으므로, AE 위의 정사각형의 EB 위의 정사각형에 대한 비율은 GZ 위의 정사각형의 ZD 위의 정사각형에 대한 비율과 같다. AE의 EB에 대한 비율이 GZ의 ZD에 대한 비율과 같으므로, AE 위의 정사각형의 EB 위의 정사각형에 대한 비율은 GZ 위의 정사각형의 ZD 위의 정사각형에 대한 비율과 같다. 그러므로 합비하면, AE, EB 위의 정사각형들의 합의 EB 위의 정사각형에 대한 비율은 GZ, ZD 위의 정사각형들의 합의 ZD 위의 정사각형에 대한 비율과 같다. 그런데 BE 위의 정사각형은 DZ 위의 정사각형과 통약할 수 있다. 그러므로 AE, EB 위의 정사각형들의 합도 GZ, ZD 위의 정사각형들의 합과 통약할 수 있다. 그러므로 합비하면, AE, EB 위의 정사각형들의 합의 EB 위의 정사각형에 대한 비율은 GZ, ZD 위의 정사각형들의 합의 ZD 위의 정사각형에 대한 비율과 같다. 그런데 BE 위의 정사각형은 DZ 위의 정사각형과 통약할 수 있다. 그러므로 AE, EB 위의 정사각형들의 합도 GZ, ZD 위의 정사각형들의 합과 통약할 수 있다.
ῥητὸν δέ ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων.
그런데 AE, EB 위의 정사각형들의 합은 유리적이다. 그러므로 GZ, ZD 위의 정사각형들의 합도 유리적이다.
πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ τετραγώνῳ, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον.
다시, AE 위의 정사각형의 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형에 대한 비율은 GZ 위의 정사각형의 GZ, ZDに 의해 둘러싸인 직사각형에 대한 비율과 같고, AE 위의 정사각형은 GZ 위의 정사각형과 통약할 수 있으므로, AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형도 GZ, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 있다. 그런데 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형은 미디얼 영역이다. 그러므로 GZ, ZD 위의 정사각형들의 합도 유리적이다. 다시, AE 위의 정사각형의 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형에 대한 비율은 GZ 위의 정사각형의 GZ, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형에 대한 비율과 같고, AE 위의 정사각형은 GZ 위의 정사각형과 통약할 수 있으므로, AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형도 GZ, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 있다. 그런데 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형은 미디얼 영역이다. 그런데 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형은 미디얼 영역이다. 그러므로 GZ, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형도 미디얼 영역이다. 그러므로 GZ, ZD는 제곱에서 통약할 수 없으며, 자신들 위의 정사각형들의 합을 유리적으로 만들고 자신들에 의해 둘러싸인 직사각형을 미디얼 영역으로 만든다. AE 위의 정사각형은 GZ 위의 정사각형과 통약할 수 있으므로, AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형도 GZ, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 있다. 그런데 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형은 미디얼 영역이다. 그러므로 GZ, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형도 미디얼 영역이다. 그러므로 GZ, ZD는 제곱에서 통약할 수 없으며, 자신들 위의 정사각형들의 합을 유리적으로 만들고 자신들에 의해 둘러싸인 직사각형을 미디얼 영역으로 만든다.
ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러므로 GD는 마이너선이다. 이것이 보여야 할 일이었다. 그러므로 GD는 마이너선이다. 이것이 보여야 할 일이었다.
§10.prop3.106ἡ τῇ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ σύμμετρος μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
유리 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선과 통약할 수 있는 직선은 유리 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이다.
ἔστω μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
AB를 유리 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이라 하고, GD는 AB와 통약할 수 있다고 하자. 나는 GD도 유리 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이라고 주장한다. AB를 유리 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이라 하고, GD는 AB와 통약할 수 있다고 하자. 나는 GD도 유리 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이라고 주장한다.
ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν.
왜냐하면 BE를 AB에 대한 부가선이라 하자. 그러므로 AE, EB는 제곱에서 통약할 수 없으며, AE, EB 위의 정사각형들의 합을 미디얼 영역으로 만들고 그들에 의해 둘러싸인 직사각형을 유리적으로 만든다.
καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω.
그리고 같은 작도가 이루어졌다고 하자. 왜냐하면 BE를 AB에 대한 부가선이라 하자. 그러므로 AE, EB는 제곱에서 통약할 수 없으며, AE, EB 위의 정사각형들의 합을 미디얼 영역으로 만들고 그들에 의해 둘러싸인 직사각형을 유리적으로 만든다. 그리고 같은 작도가 이루어졌다고 하자.
ὁμοίως δὴ δείξομεν τοῖς πρότερον, ὅτι αἱ ΓΖ, ΖΔ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ ταῖς ΑΕ, ΕΒ, καὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ·
그러므로 전과 마찬가지로 우리는 GZ, ZD가 AE, EB와 같은 비율에 있고, AE, EB 위의 정사각형들의 합이 GZ, ZD 위의 정사각형들의 합과 통약할 수 있으며, AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형이 GZ, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 있음을 보일 것이다.
ὥστε καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν.
따라서 GZ, ZD도 제곱에서 통약할 수 없으며, GZ, ZD 위의 정사각형들의 합을 미디얼 영역으로 만들고 그들에 의해 둘러싸인 직사각형을 유리적으로 만든다. 따라서 GZ, ZD도 제곱에서 통약할 수 없으며, GZ, ZD 위의 정사각형들의 합을 미디얼 영역으로 만들고 그들에 의해 둘러싸인 직사각형을 유리적으로 만든다.
ἡ ΓΔ ἄρα μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러므로 GD는 유리 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이다. 이것이 보여야 할 일이었다. 그러므로 GD는 유리 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이다. 이것이 보여야 할 일이었다.