§10.prop3.105ἡ τῇ ἐλάσσονι σύμμετρος ἐλάσσων ἐστίν.
与较小线可共测的线也是较小线。
ἔστω γὰρ ἐλάσσων ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ἐλάσσων ἐστίν.
因为，设AB为较小线，且GD与AB可共测；我说，GD也是较小线。 设AB为较小线，且GD与AB可共测；我说，GD也是较小线。
γεγονέτω γὰρ τὰ αὐτά· καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι.
因为，设同样的作图已被完成；而由于AE、EB 在平方上不可共测，因此GZ、ZD在平方上也不可共测。 因为，设同样的作图已被完成；而由于AE、EB 在平方上不可共测，因此GZ、ZD在平方上也不可共测。
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΔ. συνθέντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΔ· σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ·
由于正如AE对EB，GZ对ZD也如此，因此正如AE上的正方形对EB上的正方形，GZ上的正方形对 ZD上的正方形也如此。因此合比之，正如AE、EB上的正方形之和对EB上的正方形，GZ、ZD上的正方形之和对ZD上的正方形也如此。 由于正如AE对EB，GZ对ZD也如此，因此正如AE上的正方形对EB上的正方形，GZ上的正方形对 ZD上的正方形也如此。因此合比之，正如AE、EB上的正方形之和对EB上的正方形，GZ、ZD上的正方形之和对ZD上的正方形也如此。但BE上的正方形与DZ上的正方形可共测；因此AE、EB上的正方形之和也与 GZ、ZD上的正方形之和可共测。 但BE上的正方形与DZ上的正方形可共测；因此AE、EB上的正方形之和也与 GZ、ZD上的正方形之和可共测。
σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων. ῥητὸν δέ ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ τετραγώνῳ, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ·
而AE、EB上的正方形之和是有理的；因此GZ、ZD上的正方形之和也是有理的。再者，由于正如AE上的正方形对由AE、EB所包围的矩形，GZ上的正方形对由 GZ、ZD所包围的矩形也如此，且AE上的正方形与GZ上的正方形可共测，因此由AE、EB所包围的矩形也与由GZ、ZD所包围的矩形可共测。而由AE、EB所包围的矩形是中项的； 再者，由于正如AE上的正方形对由AE、EB所包围的矩形，GZ上的正方形对由 GZ、ZD所包围的矩形也如此，且AE上的正方形与GZ上的正方形可共测，因此由AE、EB所包围的矩形也与由GZ、ZD所包围的矩形可共测。而由AE、EB所包围的矩形是中项的；
μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον.
而由AE、EB所包围的矩形是中项的；因此由GZ、ZD所包围的矩形也是中项的；因此GZ、ZD在平方上不可共测，使得它们上的正方形之和为有理的，而由它们所包围的矩形为中项的。
ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此GD是较小线；这就是所要证明的。
§10.prop3.106ἡ τῇ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ σύμμετρος μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
与有理面积共同产生中项整体的线可共测的线，也是有理面积共同产生中项整体的线。
ἔστω μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
设AB为与有理面积共同产生中项整体的线，且GD与AB可共测；我说，GD也是与有理面积共同产生中项整体的线。
ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν.
因为，设BE为AB的伴线；因此AE、EB在平方上不可共测，使得AE、EB上的正方形之和为中项的，而由它们所包围的矩形为有理的。
καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω.
并设同样的作图已被完成。
ὁμοίως δὴ δείξομεν τοῖς πρότερον, ὅτι αἱ ΓΖ, ΖΔ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ ταῖς ΑΕ, ΕΒ, καὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· ὥστε καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν.
同样地，我们正如之前那样证明：GZ、ZD与AE、EB具有相同的比，且AE、EB上的正方形之和与GZ、ZD上的正方形之和可共测，由AE、EB所包围的矩形与由GZ、ZD所包围的矩形可共测；因此GZ、ZD在平方上也不可共测，使得GZ、ZD上的正方形之和为中项的，而由它们所包围的矩形为有理的。
ἡ ΓΔ ἄρα μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此GD是与有理面积共同产生中项整体的线；这就是所要证明的。