§10.prop3.102τὸ ἀπὸ τῆς μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν ἕκτην.
メディアル領域とともに全体としてメディアル領域を作る（直線）上の正方形を有理（直線）に沿って応用すると、幅として第6のアポトメーを作る。
ἔστω ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ·
有理領域とともに全体としてメディアル領域を作る直線をAB、有理（直線）をGDとし、AB上の正方形に等しい（矩形）GEがGDに沿って応用され、幅GZを作るとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστιν ἕκτη.
私は、GZが第6のアポトメーであると主張する。
ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ·
というのも、ABに対する付加線をBHとせよ。
αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον καὶ ἀσύμμετρον τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. παραβεβλήσθω οὖν παρὰ τὴν ΓΔ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ τὸ ΚΛ·
したがって直線AH, HBは平方において通約不可能であり、それらの上の正方形の和をメディアルとし、それらによって囲まれる（矩形）の2倍をメディアルとし、さらにAH, HB上の正方形（の和）をAH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍と通約不可能とする（直線である）。 そこで、AH上の正方形に等しい（矩形）GTがGDに沿って応用され、幅GKを作り、BH上の正方形に等しい（矩形）KLが（応用されて幅KMを作るとせよ）。
ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ·
したがって、全体GLはAH, HB上の正方形の和に等しい。
μέσον ἄρα καὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ·
したがってGLもメディアルである。 そして、それは有理（直線）GDに沿って応用され、幅GMを作っている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
したがって、GMは有理であり、かつGDと長さにおいて通約不可能である。
ἐπεὶ οὖν τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον·
そして、全体GLはAH, HB上の正方形の和に等しく、そのうちGEはAB上の正方形に等しいから、したがって残りのZLは、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍に等しい。 そして、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍はメディアルである。
καὶ τὸ ΖΛ ἄρα μέσον ἐστίν.
したがってZLもメディアルである。
καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ·
そして、それは有理（直線）ZEに沿って応用され、幅 ZMを作っている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
したがって、ZMは有理であり、かつGDと長さにおいて通約不可能である。
καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΓΛ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ, ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΜΖ·
そして、AH, HB上の正方形（の和）はAH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍と通約不可能であり、かつAH, HB上の正方形（の和）にはGLが等しく、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍にはZLが等しいから、したがってGLはZLと通約不可能である。 そして、GLが ZLに対するように、そのようにGMはMZに対する。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει.
したがって、GMはMZと長さにおいて通約不可能である。
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί.
そして、両者は有理である。
αἱ ΓΜ, ΜΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、GM, MZは平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἕκτη. ἐπεὶ γὰρ τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τετμήσθω δίχα ἡ ΖΜ κατὰ τὸ Ν, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΝΞ·
したがって、GZはアポトメーである。 さて、私はそれが第6（のアポトメー）でもあると主張する。 というのも、ZLはAH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍に等しいから、ZMが点Nにおいて2等分され、Nを通りGDに平行なNXが引かれたとせよ。
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΚΛ·
したがって、ZX, NLのそれぞれはAH, HBによって囲まれる（矩形）に等しい。 そして、AH, HBは平方において通約不可能であるから、したがって AH上の正方形はHB上の正方形と通約不可能である。 しかし、AH上の正方形にはGTが等しく、HB上の正方形にはKLが等しい。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΜ·
したがって、GTはKLと通約不可能である。 そして、GTがKLに対するように、そのようにGKはKMに対する。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΝΛ, καὶ τῶν ἄρα ΓΘ, ΚΛ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ·
したがって、GKはKMと長さにおいて通約不可能である。 そして、AH, HB上の正方形（の間）に、AH, HBによって囲まれる（矩形）が比例中項であり、かつAH上の正方形にはGTが等しく、HB上の正方形にはKLが等しく、AH, HBによって囲まれる（矩形）にはNLが等しいから、したがってGT, KLの間にもNLが比例中項である。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ. καὶ διὰ τὰ αὐτὰ ἡ ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
したがって、GTがNLに対するように、そのようにNLはKLに対する。 そして、同じ理由によって、GMはMZよりも、自身と長さにおいて通約不可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きい。
καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ·
そして、それらのいずれも設定された有理（直線）GDと長さにおいて通約不可能である。
ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἕκτη·
したがって、GZは第6のアポトメーである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。