§10.prop3.103ἡ τῇ ἀποτομῇ μήκει σύμμετρος ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή.
아포토메와 길이에서 통약할 수 있는 직선은 아포토메이고 순서에서도 이와 같다.
ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ·
AB를 아포토메라고 하고, GD는 AB와 길이에서 통약할 수 있다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.
ἐπεὶ γὰρ ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ·
나는 GD도 아포토메이고 순서에서도 AB와 같다고 주장한다. 왜냐하면 AB는 아포토메이므로, 이에 대한 부가선을 BE라 하자.
αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러므로 AE, EB는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이다.
καὶ τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ λόγῳ ὁ αὐτὸς γεγονέτω ὁ τῆς ΒΕ πρὸς τὴν ΔΖ·
그리고 AB의 GD에 대한 비율과 BE의 DZ에 대한 비율이 같아지도록 하자.
καὶ ὡς ἓν ἄρα πρὸς ἕν, πάντα πρὸς πάντα· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ὅλη ἡ ΑΕ πρὸς ὅλην τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ. σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει.
그러므로 하나에 대한 하나와 같이 전체에 대한 전체가 성립하므로, 전체 AE의 전체 GZ에 대한 비율은 AB의 GD에 대한 비율과 같다. 그런데 AB는 GD와 길이에서 통약할 수 있다.
σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΕ μὲν τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΔΖ. καὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 AE도 GZ와 통약할 수 있고, BE도 DZ와 통약할 수 있다. 그리고 AE, EB는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이다.
καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러므로 GZ, ZD도 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이다.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΔΖ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ. ἤτοι δὴ ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.
그러므로 AE의 GZ에 대한 비율이 BE의 DZ에 대한 비율과 같으므로, 교대로 AE의 EB에 대한 비율은 GZ의 ZD에 대한 비율과 같다. 그런데 AE는 EB보다 자신과 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크거나, 혹은 자신과 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
만약 AE가 EB보다 자신과 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다면, GZ도 ZD보다 자신과 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 클 것이다.
καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΓΖ, εἰ δὲ ἡ ΒΕ, καὶ ἡ ΔΖ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΓΖ, ΖΔ. εἰ δὲ ἡ ΑΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
그리고 만약 AE가 설정된 유리선과 길이에서 통약할 수 있다면 GZ도 그러하고, 만약 BE가 그러하다면 DZ도 그러하며, 만약 AE, EB 중 어느 것도 그러하지 않다면 GZ, ZD 중 어느 것도 그러하지 않다. 만약 AE가 자신과 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다면, GZ도 ZD보다 자신과 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 클 것이다.
καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΓΖ, εἰ δὲ ἡ ΒΕ, καὶ ἡ ΔΖ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὐδετέρα τῶν ΓΖ, ΖΔ.
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ·
그리고 만약 AE가 설정된 유리선과 길이에서 통약할 수 있다면 GZ도 그러하고, 만약 BE가 그러하다면 DZ도 그러하며, 만약 AE, EB 중 어느 것도 그러하지 않다면 GZ, ZD 중 어느 것도 그러하지 않다. 그러므로 GD는 아포토메이고 순서에서도 AB와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
§10.prop3.104ἡ τῇ μέσης ἀποτομῇ σύμμετρος μέσης ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή.
미디얼 아포토메와 통약할 수 있는 직선은 미디얼 아포토메이고 순서에서도 이와 같다.
ἔστω μέσης ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ·
AB를 미디얼 아포토메라고 하고, GD는 AB와 길이에서 통약할 수 있다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μέσης ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.
ἐπεὶ γὰρ μέσης ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΕΒ. αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.
나는 GD도 미디얼 아포토메이고 순서에서도 AB와 같다고 주장한다. 왜냐하면 AB는 미디얼 아포토메이므로, 이에 대한 부가선을 EB라 하자. 그러므로 AE, EB는 제곱에서만 통약할 수 있는 미디얼선이다.
καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΔΖ·
그리고 AB가 GD에 대한 비율은 BE가 DZ에 대한 비율과 같아지도록 하자.
σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΔΖ. αἱ δὲ ΑΕ, ΕΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 AE도 GZ와 통약할 수 있고, BE도 DZ와 통약할 수 있다. 그런데 AE, EB는 제곱에서만 통약할 수 있는 미디얼선이다.
καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 GZ, ZD도 제곱에서만 통약할 수 있는 미디얼선이다.
μέσης ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἡ ΓΔ.
λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ τάξει ἐστὶν ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.
ἐπεὶ ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ.
그러므로 GD는 미디얼 아포토메이다. 나는 그것이 순서에서도 AB와 같다고 주장한다. 왜냐하면 AE의 EB에 대한 비율은 GZ의 ZD에 대한 비율과 같으므로, AE 위의 정사각형의 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형에 대한 비율은 GZ 위의 정사각형의 GZ, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형에 대한 비율과 같다.
σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ·
그런데 AE 위의 정사각형은 GZ 위의 정사각형과 통약할 수 있다.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. εἴτε οὖν ῥητόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ῥητὸν ἔσται καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, εἴτε μέσον τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, μέσον καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ.
μέσης ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἡ ΓΔ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ·
그러므로 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형도 GZ, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 있다. 그러므로 만약 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형이 유리적이라면 GZ, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형도 유리적일 것이고, 만약 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형이 미디얼 영역이라면 GZ, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형도 미디얼 영역일 것이다. 그러므로 GD는 미디얼 아포토메이고 순서에서도 AB와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.