§10.prop3.102τὸ ἀπὸ τῆς μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν ἕκτην.
미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼 영역으로 만드는 (직선) 위의 정사각형을 유리선에 따라 응용하면, 폭으로서 제6 아포토메를 만든다.
ἔστω ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ·
미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼 영역으로 만드는 직선을 AB, 유리선을 GD라 하고, AB 위의 정사각형과 같은 (직사각형) GE가 GD에 따라 응용되어 폭 GZ를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστιν ἕκτη.
나는 GZ가 제6 아포토메라고 주장한다.
ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ·
왜냐하면 AB에 대한 부가선을 BH라 하자.
αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον καὶ ἀσύμμετρον τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. παραβεβλήσθω οὖν παρὰ τὴν ΓΔ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ τὸ ΚΛ·
그러므로 직선 AH, HB는 제곱에서 통약할 수 없고, 그것들 위의 정사각형들의 합을 미디얼 영역으로 만들고, AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배도 미디얼 영역으로 만들며, AH, HB 위의 정사각형들의 합은 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 통약할 수 없다. 그러므로 GD에 따라 AH 위의 정사각형과 같은 (직사각형) GT가 응용되어 폭 GK를 만들고, BH 위의 정사각형과 같은 (직사각형) KL이 응용된다고 하자.
ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ·
그러므로 전체 GL은 AH, HB 위의 정사각형들의 합과 같다.
μέσον ἄρα καὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ·
그러므로 GL도 미디얼 영역이다. 그리고 그것은 유리선 GD에 따라 응용되어 폭 GM을 만든다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
그러므로 GM은 유리적이고 GD와 길이에서 통약할 수 없다.
ἐπεὶ οὖν τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον·
그리고 전체 GL은 AH, HB 위의 정사각형들의 합과 같고, 그 중 GE는 AB 위의 정사각형과 같으므로, 그러므로 남은 ZL은 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 같다. 그리고 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배는 미디얼 영역이다.
καὶ τὸ ΖΛ ἄρα μέσον ἐστίν.
그러므로 ZL도 미디얼 영역이다.
καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ·
그리고 그것은 유리선 ZE에 따라 응용되어 폭 ZM을 만든다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
그러므로 ZM은 유리적이고 GD와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΓΛ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ, ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΜΖ·
그리고 AH, HB 위의 정사각형들의 합은 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 통약할 수 없고, AH, HB 위의 정사각형들의 합은 GL과 같고, AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배는 ZL과 같으므로, 그러므로 GL은 ZL과 통약할 수 없다. 그리고 GL이 ZL에 대한 비율은 GM이 MZ에 대한 비율과 같다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει.
그러므로 GM은 MZ와 길이에서 통약할 수 없다.
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί.
그리고 둘 다 유리선이다.
αἱ ΓΜ, ΜΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 GM, MZ는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이다.
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἕκτη.
그러므로 GZ는 아포토메이다. 나는 그것이 제6 아포토메이기도 하다고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τετμήσθω δίχα ἡ ΖΜ κατὰ τὸ Ν, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΝΞ·
왜냐하면 ZL은 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 같으므로, ZM이 점 N에서 이등분되고, N을 지나 GD에 평행한 직선 NX가 그어졌다고 하자.
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΚΛ·
그러므로 ZX, NL 각각은 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다. 그리고 AH, HB는 제곱에서 통약할 수 없으므로, 그러므로 AH 위의 정사각형은 HB 위의 정사각형과 통약할 수 없다. 그런데 AH 위의 정사각형은 GT와 같고, HB 위의 정사각형은 KL과 같으므로, 그러므로 GT는 KL과 통약할 수 없다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΜ·
그리고 GT가 KL에 대한 비율은 GK가 KM에 대한 비율과 같다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΝΛ, καὶ τῶν ἄρα ΓΘ, ΚΛ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ·
그러므로 GK는 KM과 길이에서 통약할 수 없다. 그리고 AH, HB 위의 정사각형들의 비의 중항은 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형이고, AH 위의 정사각형은 GT와 같고, HB 위의 정사각형은 KL과 같고, AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형은 NL과 같으므로, 그러므로 GT, KL의 비의 중항도 NL이다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ. καὶ διὰ τὰ αὐτὰ ἡ ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 GT가 NL에 대한 비율은 NL이 KL에 대한 비율과 같다. 그리고 같은 이유에 의해 GM은 MZ보다 자신과 길이에서 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ·
그리고 그것들 중 어느 것도 설정된 유리선 GD와 길이에서 통약할 수 없다.
ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἕκτη·
그러므로 GZ는 제6 아포토메이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.