§10.prop3.101τὸ ἀπὸ τῆς μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πέμπτην.
有理領域とともに全体としてメディアル領域を作る（直線）上の正方形を有理（直線）に沿って応用すると、幅として第5のアポトメーを作る。
ἔστω ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ·
有理領域とともに全体としてメディアル領域を作る直線をAB、有理（直線）をGDとし、AB上の正方形に等しい（矩形）GEがGDに沿って応用され、幅GZを作るとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι πέμπτη.
私は、GZが第5のアポトメーであると主張する。
ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ·
というのも、ABに対する付加線をBHとせよ。
αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ εὐθεῖαι δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν.
したがって直線AH, HBは平方において通約不可能であり、それらの上の正方形の和をメディアルとし、それらによって囲まれる（矩形）の2倍を有理とする（直線である）。
καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ·
そして、AH上の正方形に等しい（矩形）GTがGDに沿って応用され（幅GKを作り）、BH上の正方形に等しい（矩形）KLが（応用されて幅KMを作るとせよ）。
ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τὸ δὲ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἅμα μέσον ἐστίν·
したがって、全体GLはAH, HB上の正方形の和に等しい。 そして、AH, HB上の正方形の和はメディアルであるから、したがってGLもメディアルである。
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ·
そして、それは有理（直線）GDに沿って応用され、幅GMを作っている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ ὅλον τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν ὁποτέρᾳ τῶν ΓΔ, ΜΛ παράλληλος ἡ ΝΞ·
したがって、GMは有理であり、かつGDと通約不可能である。 そして、全体GLはAH, HB上の正方形の和に等しく、そのうちGEはAB上の正方形に等しいから、したがって残りのZLは、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍に等しい。 そこで、ZMが点Nにおいて2等分され、Nを通りGD, MLのいずれにも平行なNXが引かれたとせよ。
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητόν ἐστι καί ἴσον τῷ ΖΛ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ·
したがって、ZX, NLのそれぞれは AH, HBによって囲まれる（矩形）に等しい。 そして、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍は有理であり、かつZLに等しいから、したがってZLは有理である。 そして、それは有理（直線）EZに沿って応用され、幅ZMを作っている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
したがって、ZMは有理であり、かつGDと長さにおいて通約可能である。
καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν ΓΛ μέσον ἐστίν, τὸ δὲ ΖΛ ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΜΖ·
そして、GLはメディアルであり、ZLは有理であるから、したがってGLはZLと通約不可能である。 そして、GLがZLに対するように、そのようにGMはMZに対する。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει.
したがって、GMはMZと長さにおいて通約不可能である。
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
そして、両者は有理である。
αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、GM, MZは平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ.
λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη.
したがって、GZはアポトメーである。 さて、私はそれが第5（のアポトメー）でもあると主張する。
ὁμοίως γὰρ δείξομεν, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ΓΘ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ τῷ ΚΛ, ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΜ·
というのも、同様にして、GK, KMによって囲まれる（矩形）はNM上の正方形、すなわちZM上の正方形の4分の1に等しいことを示すことができるからである。 そして、AH上の正方形はHB上の正方形と通約不可能であり、かつAH上の正方形にはGTが等しく、 HB上の正方形にはKLが等しいから、したがってGTはKLと通約不可能である。 そして、GTがKLに対するように、そのようにGKはKMに対する。
ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ μήκει.
したがって、GKはKMと長さにおいて通約不可能である。
ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
したがって、GM, MZが2つの不等な直線であり、かつZM上の正方形の4分の1に等しい（矩形）が、正方形の不足を伴ってGMに沿って応用されており、かつそれを（GMを）通約不可能な（部分）に分割するから、したがってGMはMZよりも、自身と長さにおいて通約不可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きい。
καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΜ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ·
そして、付加線ZMは、設定された有理（直線）GDと長さにおいて通約可能である。
ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι πέμπτη·
したがって、GZは第5のアポトメーである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。