§10.prop3.101τὸ ἀπὸ τῆς μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πέμπτην.
유리 영역과 함께 전체를 미디얼 영역으로 만드는 직선 위의 정사각형을 유리선에 따라 응용하면, 폭으로서 제5 아포토메를 만든다.
ἔστω ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ·
유리 영역과 함께 전체를 미디얼 영역으로 만드는 직선을 AB, 유리선을 GD라 하고, AB 위의 정사각형과 같은 (직사각형) GE가 GD에 따라 응용되어 폭 GZ를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι πέμπτη.
나는 GZ가 제5 아포토메라고 주장한다.
ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ·
왜냐하면 AB에 대한 부가선을 BH라 하자.
αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ εὐθεῖαι δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν.
그러므로 직선 AH, HB는 제곱에서 통약할 수 없고, 그것들 위의 정사각형들의 합을 미디얼 영역으로 만들며, 그것들에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배를 유리 영역으로 만든다.
καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ·
그리고 AH 위의 정사각형과 같은 (직사각형) GT가 GD에 따라 응용되고, BH 위의 정사각형과 같은 (직사각형) KL이 응용된다고 하자.
ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τὸ δὲ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἅμα μέσον ἐστίν·
그러므로 전체 GL은 AH, HB 위의 정사각형들의 합과 같다. 그런데 AH, HB 위의 정사각형들의 합은 미디얼 영역이므로, 그러므로 GL도 미디얼 영역이다.
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ·
그리고 그것은 유리선 GD에 따라 응용되어 폭 GM을 만든다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ ὅλον τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν ὁποτέρᾳ τῶν ΓΔ, ΜΛ παράλληλος ἡ ΝΞ·
그러므로 GM은 유리적이고 GD와 통약할 수 없다. 그리고 전체 GL은 AH, HB 위의 정사각형들의 합과 같고, 그 중 GE는 AB 위의 정사각형과 같으므로, 그러므로 남은 ZL은 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 같다. 그러므로 ZM이 점 N에서 이등분되고, N을 지나 GD, ML 중 어느 하나에 평행한 직선 NX가 그어졌다고 하자.
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητόν ἐστι καί ἴσον τῷ ΖΛ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ·
그러므로 ZX, NL 각각은 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다. 그리고 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배는 유리 영역이고 그것은 ZL과 같으므로, 그러므로 ZL은 유리 영역이다. 그리고 그것은 유리선 EZ에 따라 응용되어 폭 ZM을 만든다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
그러므로 ZM은 유리적이고 GD와 길이에서 통약할 수 있다.
καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν ΓΛ μέσον ἐστίν, τὸ δὲ ΖΛ ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΜΖ·
그리고 GL은 미디얼 영역이고 ZL은 유리 영역이므로, 그러므로 GL은 ZL과 통약할 수 없다. 그리고 GL이 ZL에 대한 비율은 GM이 MZ에 대한 비율과 같다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει.
그러므로 GM은 MZ와 길이에서 통약할 수 없다.
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
그리고 둘 다 유리선이다.
αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 GM, MZ는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이다.
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ.
λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη.
그러므로 GZ는 아포토메이다. 나는 그것이 제5 아포토메이기도 하다고 주장한다.
ὁμοίως γὰρ δείξομεν, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ΓΘ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ τῷ ΚΛ, ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΜ·
왜냐하면 마찬가지로, GK, KM에 의해 둘러싸인 직사각형은 NM 위의 정사각형, 즉 ZM 위의 정사각형의 4분의 일과 같음을 보일 수 있기 때문이다. 그리고 AH 위의 정사각형은 HB 위의 정사각형과 통약할 수 없고, AH 위의 정사각형은 GT와 같고, HB 위의 정사각형은 KL과 같으므로, 그러므로 GT는 KL과 통약할 수 없다. 그리고 GT가 KL에 대한 비율은 GK가 KM에 대한 비율과 같다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ μήκει.
그러므로 GK는 KM과 길이에서 통약할 수 없다.
ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 GM, MZ가 두 개의 부등한 직선이고, ZM 위의 정사각형의 4분의 일과 같은 직사각형이 정사각형 모양이 부족한 상태로 GM에 따라 응용되어 있으며, 그것을 통약할 수 없는 부분들로 분할하므로, 그러므로 GM은 MZ보다 자신과 길이에서 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΜ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ·
그리고 부가선 ZM은 설정된 유리선 GD와 길이에서 통약할 수 있다.
ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι πέμπτη·
그러므로 GZ는 제5 아포토메이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.