§10.prop3.100τὸ ἀπὸ ἐλάσσονος παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τετάρτην.
より小さい（直線）上の正方形を有理（直線）に沿って応用すると、幅として第4のアポトメーを作る。
ἔστω ἐλάσσων ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ·
より小さい（直線）をAB、有理（直線）をGDとし、AB上の正方形に等しい（矩形）GEが有理（直線）GDに沿って応用され、幅 GZを作るとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι τετάρτη.
私は、GZが第4のアポトメーであると主張する。
ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ·
というのも、ABに対する付加線をBHとせよ。
αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον.
したがってAH, HBは平方において通約不可能であり、AH, HB上の正方形の和を有理とし、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍を中項とする（直線である）。
καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσον τὸ ΚΛ πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΜ·
そして、AH上の正方形に等しい（矩形）GTがGDに沿って応用され、幅GKを作るとせよ。 また、 BH上の正方形に等しい（矩形）KLが応用され、幅KMを作るとせよ。
ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καί ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητόν·
したがって、全体GLはAH, HB上の正方形の和に等しい。 そして、AH, HB上の正方形の和は有理であるから、したがってGLも有理である。
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ·
そして、それは有理（直線）GDに沿って応用され、幅GMを作っている。
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΓΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
したがって、GMも有理であり、かつGDと長さにおいて通約可能である。
καὶ ἐπεὶ ὅλον τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν ὁποτέρᾳ τῶν ΓΔ, ΜΛ παράλληλος ἡ ΝΞ·
そして、全体GLはAH, HB上の正方形の和に等しく、そのうちGEはAB上の正方形に等しいから、したがって残りのZLは、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍に等しい。 そこで、ZMが点Nにおいて2等分され、Nを通りGD, MLのいずれにも平行なNXが引かれたとせよ。
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΖΛ, καὶ τὸ ΖΛ ἄρα μέσον ἐστίν.
したがって、ZX, NL of それぞれはAH, HBによって囲まれる（矩形）に等しい。 そして、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍は中項であり、かつZLに等しいから、したがってZLも中項である。
καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ·
そして、それは有理（直線）EZに沿って応用され、幅ZMを作っている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
したがって、ZMも有理であり、かつGDと長さにおいて通約不可能である。
καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητόν ἐστιν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον, ἀσύμμετρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. ἴσον δέ τὸ ΓΛ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ·
そして、AH, HB上の正方形の和は有理であり、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍は中項であるから、AH, HB上の正方形の和は、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍と通約不可能である。 しかし、AH, HB上の正方形の和にはGLが等しく、AH, HBによって囲まれる（矩形）の2倍には ZLが等しい。
ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΜΖ·
したがって、GLはZLと通約不可能である。 そして、GLがZLに対するように、そのようにGMはMZに対する。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει.
したがって、GMはMZと長さにおいて通約不可能である。
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
そして、両者は有理である。
αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、GM, MZは平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ.
λέγω, ὅτι καὶ τετάρτη.
したがって、GZはアポトメーである。 さて、私はそれが第4（のアポトメー）でもあると主張する。
ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ. καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ·
というのも、AH, HBは平方において通約不可能であるから、したがってAH上の正方形もHB上の正方形と通約不可能である。 そして、AH上の正方形にはGTが等しく、HB上の正方形にはKLが等しい。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΜ·
したがって、GTは KLと通約不可能である。 そして、GTがKLに対するように、そのようにGKはKMに対する。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ μήκει.
したがって、GKはKMと長さにおいて通約不可能である。
καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ΓΘ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ τῷ ΚΛ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ ΝΛ, τῶν ἄρα ΓΘ, ΚΛ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ·
そして、AH, HB上の正方形の間に、AH, HBによって囲まれる（矩形）が比例中項であり、かつAH上の正方形はGTに等しく、HB上の正方形はKLに等しく、AH, HBによって囲まれる（矩形）は NLに等しいから、したがってGT, KLの間にも、NLは比例中項である。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ, ὡς δὲ τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΚΜ·
したがって、GTがNLに対するように、そのようにNLはKLに対する。 しかし、GTがNLに対するように、そのようにGKはNMに対する。 そして、NLがKLに対するように、そのようにNMはKMに対する。
ὡς ἄρα ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΜΝ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΚΜ·
したがって、GKがMNに対するように、そのようにMNはKMに対する。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΖ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
したがって、GK, KMによって囲まれる（矩形）はMN上の正方形、すなわちZM上の正方形の4分の1に等しい。 したがって、GM, MZが2つの不等な直線であり、かつMZ上の正方形の4分の1に等しい、 GK, KMによって囲まれる（矩形）が、正方形の不足を伴ってGMに沿って応用されており、かつそれを（GMを）通約不可能な（部分）に分割するから、したがってGMはMZよりも、自身と長さにおいて通約不可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きい。
καί ἐστιν ὅλη ἡ ΓΜ σύμμετρος μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ·
そして、全体GMは、設定された有理（直線）GDと長さにおいて通約可能である。
ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι τετάρτη.
したがって、GZは第4のアポトメーである。
τὸ ἄρα ἀπὸ ἐλάσσονος καὶ τὰ ἑξῆς.
したがって、より小さい（直線）上の正方形から（得られるものは）、以下同様である。