§10.prop3.100τὸ ἀπὸ ἐλάσσονος παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τετάρτην.
마이너 직선 위의 정사각형을 유리선에 따라 응용하면, 폭으로서 제4 아포토메를 만든다.
ἔστω ἐλάσσων ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ·
마이너 직선을 AB, 유리선을 GD라 하고, AB 위의 정사각형과 같은 (직사각형) GE가 유리선 GD에 따라 응용되어 폭 GZ를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι τετάρτη.
나는 GZ가 제4 아포토메라고 주장한다.
ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ·
왜냐하면 AB에 대한 부가선을 BH라 하자.
αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον.
그러므로 AH, HB는 제곱에서 통약할 수 없고, AH, HB 위의 정사각형들의 합을 유리 영역으로 만들며, AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배를 미디얼 영역으로 만든다.
καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσον τὸ ΚΛ πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΜ·
그리고 AH 위의 정사각형과 같은 (직사각형) GT가 GD에 따라 응용되어 폭 GK를 만들고, BH 위의 정사각형과 같은 (직사각형) KL이 응용되어 폭 KM을 만든다고 하자.
ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καί ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητόν·
그러므로 전체 GL은 AH, HB 위의 정사각형들의 합과 같다. 그리고 AH, HB 위의 정사각형들의 합은 유리 영역이므로, 그러므로 GL도 유리 영역이다.
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ·
그리고 그것은 유리선 GD에 따라 응용되어 폭 GM을 만든다.
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΓΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
그러므로 GM도 유리적이고 GD와 길이에서 통약할 수 있다.
καὶ ἐπεὶ ὅλον τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν ὁποτέρᾳ τῶν ΓΔ, ΜΛ παράλληλος ἡ ΝΞ·
그리고 전체 GL은 AH, HB 위의 정사각형들의 합과 같고, 그 중 GE는 AB 위의 정사각형과 같으므로, 그러므로 남은 ZL은 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 같다. 그러므로 ZM이 점 N에서 이등분되고, N을 지나 GD, ML 중 어느 하나에 평행한 직선 NX가 그어졌다고 하자.
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΖΛ, καὶ τὸ ΖΛ ἄρα μέσον ἐστίν.
그러므로 ZX, NL 각각은 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다. 그리고 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배는 미디얼 영역이고 그것은 ZL과 같으므로, 그러므로 ZL도 미디얼 영역이다.
καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ·
그리고 그것은 유리선 EZ에 따라 응용되어 폭 ZM을 만든다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.
그러므로 ZM은 유리적이고 GD와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητόν ἐστιν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον, ἀσύμμετρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. ἴσον δέ τὸ ΓΛ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ·
그리고 AH, HB 위의 정사각형들의 합은 유리 영역인 반면, AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배는 미디얼 영역이므로, AH, HB 위의 정사각형들의 합은 AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 통약할 수 없다. 그리고 GL은 AH, HB 위의 정사각형들의 합과 같고, AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배에는 ZL이 같다.
ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΜΖ·
그러므로 GL은 ZL과 통약할 수 없다. 그리고 GL이 ZL에 대한 비율은 GM이 MZ에 대한 비율과 같다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει.
그러므로 GM은 MZ와 길이에서 통약할 수 없다.
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
그리고 둘 다 유리선이다.
αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 GM, MZ는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이다.
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ.
λέγω, ὅτι καὶ τετάρτη.
그러므로 GZ는 아포토메이다. 나는 그것이 제4 아포토메이기도 하다고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ. καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ·
왜냐하면 AH, HB는 제곱에서 통약할 수 없으므로, 그러므로 AH 위의 정사각형도 HB 위의 정사각형과 통약할 수 없다. 그리고 AH 위의 정사각형은 GT와 같고, HB 위의 정사각형은 KL과 같으므로, 그러므로 GT는 KL과 통약할 수 없다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΜ·
그리고 GT가 KL에 대한 비율은 GK가 KM에 대한 비율과 같다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ μήκει.
그러므로 GK는 KM과 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ΓΘ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ τῷ ΚΛ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ ΝΛ, τῶν ἄρα ΓΘ, ΚΛ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ·
그리고 AH, HB 위의 정사각형들 사이에, AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형이 비례중항이고, AH 위의 정사각형은 GT와 같고, HB 위의 정사각형은 KL과 같으며, AH, HB에 의해 둘러싸인 직사각형은 NL과 같으므로, 그러므로 GT, KL 사이에도 NL은 비례중항이다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ, ὡς δὲ τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΚΜ·
그러므로 GT가 NL에 대한 비율은 NL이 KL에 대한 비율과 같다. 그러나 GT가 NL에 대한 비율은 GK가 NM에 대한 비율과 같고, NL이 KL에 대한 비율은 NM이 KM에 대한 비율과 같다.
ὡς ἄρα ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΜΝ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΚΜ·
그러므로 GK가 MN에 대한 비율은 MN이 KM에 대한 비율과 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΖ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 GK, KM에 의해 둘러싸인 직사각형은 MN 위의 정사각형, 즉 ZM 위의 정사각형의 4분의 일과 같다. 그러므로 GM, MZ가 두 개의 부등한 직선이고, MZ 위의 정사각형의 4분의 일과 같은, GK, KM에 의해 둘러싸인 직사각형이 정사각형 모양이 부족한 상태로 GM에 따라 응용되어 있으며, 그것을 통약할 수 없는 부분들로 분할하므로, 그러므로 GM은 MZ보다 자신과 길이에서 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
καί ἐστιν ὅλη ἡ ΓΜ σύμμετρος μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ·
그리고 전체 GM은 설정된 유리선 GD와 길이에서 통약할 수 있다.
ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι τετάρτη.
그러므로 GZ는 제4 아포토메이다.
τὸ ἄρα ἀπὸ ἐλάσσονος καὶ τὰ ἑξῆς.
그러므로 마이너 직선 위의 정사각형에서 얻어지는 것도 이하와 같다.