§10.prop2.72δύο μέσων ἀσυμμέτρων ἀλλήλοις συντιθεμένων αἱ λοιπαὶ δύο ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἢ δύο μέσα δυναμένη.
互いに通約不能な2つの中項面積が足し合わされるとき、残りの2つの無理線が生じる。 すなわち、第二二中項線か、あるいは2つの中項面積の和の側辺である。
Συγκείσθω γὰρ δύο μέσα ἀσύμμετρα ἀλλήλοις τὰ ΑΒ, ΓΔ·
互いに通約不能な2つの中項面積 AB, GDが足し合わされているとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἤτοι ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα ἢ δύο μέσα δυναμένη.
私は言う、領域ADの側辺は、第二二中項線であるか、あるいは2つの中項面積の和の側辺である。
τὸ γὰρ ΑΒ τοῦ ΓΔ ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἔλασσον.
なぜなら、ABはGDよりも大きいか、あるいは小さい。
ἔστω, εἰ τύχοι, πρότερον μεῖζον τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ·
もしよければ、まず ABがGDよりも大きいとせよ。
καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τῷ μὲν ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ, τῷ δὲ ΓΔ ἴσον τὸ ΘΙ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΚ. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΓΔ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΕΗ, ΘΙ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὰς ΕΘ, ΘΚ· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΕΘ, ΘΚ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
そして有理線EZを設定し、EZに沿って、ABに等しいEHを適用して幅EQを作らせ、またGDに等しいQIを適用して幅 QKを作らせよ。 そして、AB, GDのそれぞれは中項であるので、それゆえEH, QIのそれぞれも中項である。 そしてそれらは有理線ZEに沿ってあてがわれて幅EQ, QKを作っているので、EQ, QKのそれぞれは有理であり、かつEZと長さにおいて通約不能である。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΕΗ, τὸ δὲ ΓΔ τῷ ΘΙ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΙ. ὡς δὲ τὸ ΕΗ πρὸς τὸ ΘΙ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸς ΘΚ·
そして ABはGDと通約不能であり、かつABはEHに等しく、GDはQIに等しいので、それゆえEHもQIと通約不能である。 しかし、EHのQIに対する比は、EQのQKに対する比に等しい。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΘΚ μήκει.
それゆえ、EQもQKと長さにおいて通約不能である。
αἱ ΕΘ, ΘΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
それゆえ、EQ, QKは平方においてのみ通約可能な有理線である。
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΚ. ἤτοι δὲ ἡ ΕΘ τῆς ΘΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.
したがって、EKは二名線である。 そして、EQはQKよりも、自身と長さにおいて通約可能な直線上の正方形だけ大きく冪をもち得るか、あるいは通約不能な直線上の正方形だけ大きく冪をもち得る。
δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει·
まず、自身と長さにおいて通約可能な直線上の正方形だけ大きく冪をもち得るとせよ。
καὶ οὐδετέρα τῶν ΕΘ, ΘΚ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ μήκει·
そして、EQ, QKのいずれも設定された有理線EZと長さにおいて通約可能ではない。
ἡ ΕΚ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη.
それゆえ、EKは第三二名線である。
ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ·
そしてEZは有理線である。
ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα·
もし領域が有理線と第三二名線によって囲まれているならば、その領域の側辺は第二二中項線である。
ἡ ἄρα τὸ ΕΙ, τουτέστι τὸ ΑΔ, δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα.
それゆえ、EIすなわちADの側辺は第二二中項線である。
ἀλλὰ δὴ ἡ ΕΘ τῆς ΘΚ μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει·
しかし今度は、EQがQKよりも、自身と長さにおいて通約不能な直線上の正方形だけ大きく冪をもち得るとせよ。
καὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΕΘ, ΘΚ τῇ ΕΖ μήκει·
そして、EQ, QKのそれぞれはEZと長さにおいて通約不能である。
ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη.
それゆえ、EKは第六二名線である。
ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἡ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν·
もし領域が有理線と第六二名線によって囲まれているならば、その領域の側辺は2つの中項面積の和の側辺である。
ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἡ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν.
したがって、領域ADの側辺も 2つの中項面積の和の側辺である。
. δύο ἄρα μέσων ἀσυμμέτρων ἀλλήλοις συντιθεμένων αἱ λοιπαὶ δύο ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἢ δύο μέσα δυναμένη.
. それゆえ、互いに通約不能な2つの中項面積が足し合わされるとき、残りの2つの無理線が生じる。 すなわち、第二二中項線か、あるいは2つの中項面積の和の側辺である。
ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων καὶ αἱ μετʼ αὐτὴν ἄλογοι οὔτε τῇ μέσῃ οὔτε ἀλλήλαις εἰσὶν αἱ αὐταί.
二名線およびそれらに続く無理線は、中項線とも互いとも同じではない。
τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ μέσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ παρʼ ἣν παράκειται μήκει.
なぜなら、中項線上の正方形が有理線に沿って適用されるとき、それは有理であってあてがわれた線と長さにおいて通約不能な幅を作る。
τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην.
しかし、二名線上の正方形が有理線に沿って適用されるとき、それは第一二名線を幅として作る。
τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέραν.
また、第一二中項線上の正方形が有理線に沿って適用されるとき、それは第二二名線を幅として作る。
τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτην.
また、第二二中項線上の正方形が有理線に沿って適用されるとき、それは第三二名線を幅として作る。
τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μείζονος παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτην.
また、最大線上の正方形が有理線に沿って適用されるとき、それは第四二名線を幅として作る。
τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτην.
また、有理面積と中項面積の和の側辺である線上の正方形が有理線に沿って適用されるとき、それは第五二名線を幅として作る。
τὸ δὲ ἀπὸ τῆς δύο μέσα δυναμένης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτην.
また、2つの中項面積の和の側辺である線上の正方形が有理線に沿って適用されるとき、それは第六二名線を幅として作る。
τὰ δʼ εἰρημένα πλάτη διαφέρει τοῦ τε πρώτου καὶ ἀλλήλων, τοῦ μὲν πρώτου, ὅτι ῥητή ἐστιν, ἀλλήλων δέ, ὅτι τῇ τάξει οὐκ εἰσὶν αἱ αὐταί·
そして、述べられた幅は、最初の幅とも互いとも異なる。 最初の幅とは、それが有理線であることで異なり、互いとは、それらが序列において同じではないことで異なる。
ὥστε καὶ αὐταὶ αἱ ἄλογοι διαφέρουσιν ἀλλήλων.
したがって、これらの無理線自体も互いに異なる。