§10.prop2.71ῥητοῦ καὶ μέσου συντιθεμένου τέσσαρες ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο ὀνομάτων ἢ ἐκ δύο μέσων πρώτη ἢ μείζων ἢ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.
有理面積と中項面積が足し合わされるとき、4つの無理線が生じる。 すなわち、二名線か、第一二中項線か、最大線か、あるいは有理面積と中項面積の和の側辺である。
ἔστω ῥητὸν μὲν τὸ ΑΒ, μέσον δὲ τὸ ΓΔ·
ABを有理、GDを中項とせよ。
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἤτοι ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἢ ἐκ δύο μέσων πρώτη ἢ μείζων ἢ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.
私は言う、領域ADの側辺は、二名線であるか、第一二中項線であるか、最大線であるか、あるいは有理面積と中項面積の和の側辺である。
τὸ γὰρ ΑΒ τοῦ ΓΔ ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἔλασσον.
なぜなら、ABはGDよりも大きいか、あるいは小さい。
ἔστω πρότερον μεῖζον·
まず大きいとせよ。
καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τῷ ΑΒ ἴσον τὸ ΕΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ· τῷ δὲ ΔΓ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΘΙ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΚ. καὶ ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ ΑΒ καί ἐστιν ῥητόν ἐστι τὸ ΑΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΕΗ, ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ τὴν ΕΖ παραβέβληται πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ· ἡ ΕΘ ἄρα ῥητή ἐστι καὶ σύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
そして有理線EZを設定し、EZに沿って ABに等しいEHを適用して幅EQを作らせ、またDGに等しいQIをEZに沿って適用して幅QKを作らせよ。 そして、ABは有理でありまたABは有理であり、かつそれはEHに等しいので、EHも有理である。 そしてそれは有理線EZに沿って適用されて幅EQを作っているので、それゆえEQは有理であり、かつEZと長さにおいて通約可能である。
πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ΓΔ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΘΙ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΘΙ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΚ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
次に、GDは中項であり QIに等しいので、QIも中項である。 そしてそれは有理線EZに沿ってあてがわれて幅QKを作っているので、それゆえQKは有理であり、かつEZと長さにおいて通約不能である。
καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ΓΔ, ῥητὸν δὲ τὸ ΑΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ·
そして、GDは中項であり、ABは有理であるので、それゆえABはGDと通約不能である。
ὥστε καὶ τὸ ΕΗ ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ ΘΙ. ὡς δὲ τὸ ΕΗ πρὸς τὸ ΘΙ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΚ·
したがって EHもQIと通約不能である。 しかし、EHのQIに対する比は、EQのQKに対する比に等しい。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΚ μήκει.
それゆえ、EQもQKと長さにおいて通約不能である。
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
そして両者は有理線である。
αἱ ΕΘ, ΘΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
それゆえ、EQ, QKは平方においてのみ通約可能な有理線である。
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΚ διῃρημένη κατὰ τὸ Θ. καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΕΗ, τὸ δὲ ΓΔ τῷ ΘΙ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΕΗ τοῦ ΘΙ·
したがって、EKはQにおいて分けられた二名線である。 そして ABはGDよりも大きく、ABはEHに等しく、GDはQIに等しいので、それゆえEHもQIより大きい。
καὶ ἡ ΕΘ ἄρα μείζων ἐστὶ τῆς ΘΚ. ἤτοι οὖν ἡ ΕΘ τῆς ΘΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.
したがってEQもQKより大きい。 それゆえ、EQはQKよりも、自身と長さにおいて通約可能な直線上の正方形だけ大きく冪をもち得るか、あるいは通約不能な直線上の正方形だけ大きく冪をもち得る。
δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
まず、自身と長さにおいて通約可能な直線上の正方形だけ大きく冪をもち得るとせよ。
καί ἐστιν ἡ μείζων ἡ ΘΕ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ·
そして、より大きい方であるQEは設定された有理線EZと長さにおいて通約可能である。
ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη.
それゆえ、EKは第一二名線である。
ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ·
そしてEZは有理線である。
ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν.
もし領域が有理線と第一二名線によって囲まれているならば、その領域の側辺は二名線である。
ἡ ἄρα τὸ ΕΙ δυναμένη ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν·
それゆえ、EIの側辺は二名線である。
ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν.
したがって、ADの側辺も二名線である。
ἀλλὰ δὴ δυνάσθω ἡ ΕΘ τῆς ΘΚ μεῖζον τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ·
しかし今度は、EQがQKよりも、自身と長さにおいて通約不能な直線上の正方形だけ大きく冪をもち得るとせよ。
καί ἐστιν ἡ μείζων ἡ ΕΘ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ μήκει·
そしてより大きい方であるEQは設定された有理線EZと長さにおいて通約可能である。
ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη.
それゆえ、EKは第四二名線である。
ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ·
そしてEZは有理線である。
ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων.
もし領域が有理線と第四二名線によって囲まれているならば、その領域の側辺は、最大線と呼ばれる無理線である。
ἡ ἄρα τὸ ΕΙ χωρίον δυναμένη μείζων ἐστίν·
それゆえ、領域EIの側辺は最大線である。
ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη μείζων ἐστίν.
したがって、ADの側辺も最大線である。
ἀλλὰ δὴ ἔστω ἔλασσον τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ·
しかし今度は、ABがGDよりも小さいとせよ。
καὶ τὸ ΕΗ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τοῦ ΘΙ·
それゆえEHもQIより小さい。
ὥστε καὶ ἡ ΕΘ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΘΚ. ἤτοι δὲ ἡ ΘΚ τῆς ΕΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.
したがってEQもQKより小さい。 すると、QKはEQよりも、自身と長さにおいて通約可能な直線上の正方形だけ大きく冪をもち得るか、あるいは通約不能な直線上の正方形だけ大きく冪をもち得る。
δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει·
まず、自身と長さにおいて通約可能な直線上の正方形だけ大きく冪をもち得るとせよ。
καί ἐστιν ἡ ἐλάσσων ἡ ΕΘ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ μήκει·
そして、より小さい方であるEQは、設定された有理線EZと長さにおいて通約可能である。
ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα.
それゆえ、EKは第二二名線である。
ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ·
そしてEZは有理線である。
ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρας, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη.
もし領域が有理線と第二二名線によって囲まれているならば、その領域の側辺は第一二中項線である。
ἡ ἄρα τὸ ΕΙ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη·
それゆえ、領域EIの側辺は第一二中項線である。
ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη.
したがって、ADの側辺も第一二中項線である。
ἀλλὰ δὴ ἡ ΘΚ τῆς ΘΕ μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
しかし今度は、QKがQEよりも自身と長さにおいて通約不能な直線上の正方形だけ大きく冪をもち得るとせよ。
καί ἐστιν ἡ ἐλάσσων ἡ ΕΘ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ·
そして、より小さい方であるEQは、設定された有理線EZと長さにおいて通約可能である。
ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη.
それゆえ、EKは第五二名線である。
ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ·
そしてEZは有理線である。
ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν.
もし領域が有理線と第五二名線によって囲まれているならば、その領域の側辺は有理面積と中項面積の和の側辺である。
ἡ ἄρα τὸ ΕΙ χωρίον δυναμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν·
それゆえ、領域EIの側辺は有理面積と中項面積の和の側辺である。
ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν.
したがって、領域ADの側辺も有理面積と中項面積の和の側辺である。
ῥητοῦ ἄρα καὶ μέσου συντιθεμένου τέσσαρες ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο ὀνομάτων ἢ ἐκ δύο μέσων πρώτη ἢ μείζων ἢ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη·
それゆえ、有理面積と中項面積が足し合わされるとき、4つの無理線が生じる。 すなわち、二名線か、第一二中項線か、最大線か、あるいは有理面積と中項面積の和の側辺である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。