§10.prop2.71ῥητοῦ καὶ μέσου συντιθεμένου τέσσαρες ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο ὀνομάτων ἢ ἐκ δύο μέσων πρώτη ἢ μείζων ἢ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.
유리면적과 중항면적이 더해질 때, 네 무리선이 생긴다. 즉 이명선, 제일 이중항선, 대선, 또는 유리면적과 중항면적의 합의 측변이다.
ἔστω ῥητὸν μὲν τὸ ΑΒ, μέσον δὲ τὸ ΓΔ·
AB를 유리, GD를 중항이라 하라.
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἤτοι ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἢ ἐκ δύο μέσων πρώτη ἢ μείζων ἢ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.
나는 말한다, 영역 AD의 측변은 이명선이거나, 제일 이중항선이거나, 대선이거나, 또는 유리면적과 중항면적의 합의 측변이다.
τὸ γὰρ ΑΒ τοῦ ΓΔ ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἔλασσον.
왜냐하면 AB는 GD보다 크거나 작기 때문이다.
ἔστω πρότερον μεῖζον·
먼저 크다고 하라.
καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τῷ ΑΒ ἴσον τὸ ΕΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ· τῷ δὲ ΔΓ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΘΙ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΚ. καὶ ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ ΑΒ καί ἐστιν ῥητόν ἐστι τὸ ΑΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΕΗ, ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ τὴν ΕΖ παραβέβληται πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ· ἡ ΕΘ ἄρα ῥητή ἐστι καὶ σύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
그리고 유리선 EZ를 설정하고, EZ를 따라 AB와 같은 EH를 적용하여 폭 EQ를 얻고, DG와 같은 QI를 EZ를 따라 적용하여 폭 QK를 얻게 하라. 그리고 AB는 유리이며 AB는 유리이고, 그것이 EH와 같으므로, EH도 유리이다. 그리고 그것이 유리선 EZ를 따라 적용되어 폭 EQ를 얻었으므로, 그러므로 EQ는 유리선이며 EZ와 길이에서 통약할 수 있다.
πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ΓΔ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΘΙ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΘΙ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΚ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
다시, GD는 중항이며 QI와 같으므로, QI도 중항이다. 그리고 그것이 유리선 EZ를 따라 놓여 폭 QK를 얻었으므로, 그러므로 QK는 유리선이며 EZ와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ΓΔ, ῥητὸν δὲ τὸ ΑΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ·
그리고 GD는 중항이며, AB는 유리이므로, 그러므로 AB는 GD와 통약할 수 없다.
ὥστε καὶ τὸ ΕΗ ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ ΘΙ. ὡς δὲ τὸ ΕΗ πρὸς τὸ ΘΙ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΚ·
따라서 EH도 QI와 통약할 수 없다. 그런데 EH의 QI에 대한 비는 EQ의 QK에 대한 비와 같다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΚ μήκει.
그러므로 EQ도 QK와 길이에서 통약할 수 없다.
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
그리고 둘 다 유리선이다.
αἱ ΕΘ, ΘΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 EQ, QK는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이다.
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΚ διῃρημένη κατὰ τὸ Θ. καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΕΗ, τὸ δὲ ΓΔ τῷ ΘΙ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΕΗ τοῦ ΘΙ·
그러므로 EK는 Q에서 나누어지는 이명선이다. 그리고 AB가 GD보다 크고, AB가 EH와 같으며, GD가 QI와 같으므로, 그러므로 EH도 QI보다 크다.
καὶ ἡ ΕΘ ἄρα μείζων ἐστὶ τῆς ΘΚ. ἤτοι οὖν ἡ ΕΘ τῆς ΘΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.
따라서 EQ도 QK보다 크다. 그러므로 EQ는 QK보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 더 거듭제곱할 수 있거나, 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 더 거듭제곱할 수 있다.
δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
먼저 자신과 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 더 거듭제곱할 수 있다고 하라.
καί ἐστιν ἡ μείζων ἡ ΘΕ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ· ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη.
그리고 더 큰 쪽인 QE는 설정된 유리선 EZ와 통약할 수 있으므로, 그러므로 EK는 제일 이명선이다.
ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ·
그리고 EZ는 유리선이다.
ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν.
만일 어떤 영역이 유리선과 제일 이명선에 의해 둘러싸인다면, 그 영역의 측변은 이명선이다.
ἡ ἄρα τὸ ΕΙ δυναμένη ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν·
그러므로 EI의 측변은 이명 선이다.
ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν.
따라서 AD의 측변도 이명선이다.
ἀλλὰ δὴ δυνάσθω ἡ ΕΘ τῆς ΘΚ μεῖζον τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ·
그러나 이제 EQ가 QK보다 자신과 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 더 거듭제곱할 수 있다고 하라.
καί ἐστιν ἡ μείζων ἡ ΕΘ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ μήκει· ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη.
그리고 더 큰 쪽인 EQ는 설정된 유리선 EZ와 길이에서 통약할 수 있으므로, 그러므로 EK는 제사 이명선이다.
ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ·
그리고 EZ는 유리선이다.
ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων.
만일 어떤 영역이 유리선과 제사 이명선에 의해 둘러싸인다면, 그 영역의 측변은 대선이라 불리는 무리선이다.
ἡ ἄρα τὸ ΕΙ χωρίον δυναμένη μείζων ἐστίν·
그러므로 영역 EI의 측변은 대선이다.
ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη μείζων ἐστίν.
따라서 AD의 측변도 대 선이다.
ἀλλὰ δὴ ἔστω ἔλασσον τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ·
그러나 이제 AB가 GD보다 작다고 하라.
καὶ τὸ ΕΗ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τοῦ ΘΙ·
그러므로 EH도 QI보다 작다.
ὥστε καὶ ἡ ΕΘ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΘΚ. ἤτοι δὲ ἡ ΘΚ τῆς ΕΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.
따라서 EQ도 QK보다 작다. 그러면 QK는 EQ보다 자신과 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 더 거듭제곱할 수 있거나, 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 더 거듭제곱할 수 있다.
δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει·
먼저 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 더 거듭제곱할 수 있다고 하라.
καί ἐστιν ἡ ἐλάσσων ἡ ΕΘ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ μήκει· ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα.
그리고 더 작은 쪽인 EQ는 설정된 유리선 EZ와 길이에서 통약할 수 있으므로, 그러므로 EK는 제이 이명선이다.
ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ·
그리고 EZ는 유리 선이다.
ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρας, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη.
만일 어떤 영역이 유리선과 제이 이명선에 의해 둘러싸인다면, 그 영역의 측변은 제일 이중항선이다.
ἡ ἄρα τὸ ΕΙ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη·
그러므로 영역 EI의 측변은 제일 이중항선이다.
ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη.
따라서 AD의 측변도 제일 이중항선이다.
ἀλλὰ δὴ ἡ ΘΚ τῆς ΘΕ μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
그러나 이제 QK가 QE보다 자신과 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 더 거듭제곱할 수 있다고 하라.
καί ἐστιν ἡ ἐλάσσων ἡ ΕΘ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ· ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη.
그리고 더 작은 쪽인 EQ는 설정된 유리선 EZ와 통약할 수 있으므로, 그러므로 EK는 제오 이명선이다.
ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ·
그리고 EZ는 유리선이다.
ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν.
만일 어떤 영역이 유리선과 제오 이명선에 의해 둘러싸인다면, 그 영역의 측변은 유리면적과 중항면적의 합의 측변이다.
ἡ ἄρα τὸ ΕΙ χωρίον δυναμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν·
그러므로 영역 EI의 측변은 유리면적과 중항면적의 합의 측변이다.
ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν.
따라서 영역 AD의 측변도 유리면적과 중항면적의 합의 측변이다.
ῥητοῦ ἄρα καὶ μέσου συντιθεμένου τέσσαρες ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο ὀνομάτων ἢ ἐκ δύο μέσων πρώτη ἢ μείζων ἢ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη·
그러므로 유리면적과 중항면적이 더해질 때, 네 무리선이 생긴다. 즉 이명선, 제일 이중항선, 대선, 또는 유리면적과 중항면적의 합의 측변이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.