§10.prop2.63τὸ ἀπὸ τῆς μείζονος παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτην.
大線上の正方形を有理直線に沿って適用して作られる長方形の幅は、第四二名線を作る。
ἔστω μείζων ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε μείζονα εἶναι τὴν ΑΓ τῆς ΓΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ παραλληλόγραμμον πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ·
ABをCにおいて分けられた大線とし、ACがCBより大きいとし、DEを有理直線とし、DEに沿って、AB上の正方形に等しい平行四辺形DZが適用され、幅DHを作るとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη.
私は言う、DHは第四二名線であると。
Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς προδεδειγμένοις.
なぜなら、すでに示されたものと同様に作図せよ。
καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ ὑπʼ αὐτῶν μέσον.
そして、ABはCにおいて分けられた大線であるので、AC, CBは平方において通約不能であり、それらの上の正方形の和を有理にし、それらによって囲まれる長方形を中項にする。
ἐπεὶ οὖν ῥητόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ·
そこで、AC, CB上の正方形の和は元より有理であるので、したがってDLも有理である。
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΔΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
したがって、DMも有理であり、DEと長さにおいて通約可能である。
πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ΜΖ, καὶ παρὰ ῥητήν ἐστι τὴν ΜΛ, ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει·
再び、AC, CBによって囲まれる長方形の2倍すなわちMZは中項であり、かつ有理直線MLに沿って適用されているので、したがってMHもまた有理であり、 DEと長さにおいて通約不能である。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ μήκει.
したがって、DMもMHと長さにおいて通約不能である。
αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、DM, MHは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.
δεικτέον, ὅτι καὶ τετάρτη.
したがって、DHは二名線である。 そこで、それが第四であることを示すべきである。
ὁμοίως δὴ δείξομεν τοῖς πρότερον, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ, καὶ ὅτι τὸ ὑπὸ ΔΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ. ἐπεὶ οὖν ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΔΘ τῷ ΚΛ·
確かに、先の（命題）と同様に、DMは MHより大きいこと、およびDK, KMによって囲まれる長方形はMN上の正方形に等しいことを示すであろう。 そこで、AC上の正方形はCB上の正方形と通約不能であるので、したがってDΘもKLと通約不能である。
ὥστε ἀσύμμετρος καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ ἐστιν.
したがって、DKもKMと通約不能である。
ἐὰν δὲ ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παραλληλόγραμμον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ, ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει·
もし2つの不等な直線があり、短い方の上の正方形の4分の1に等しい平行四辺形が、長い方に沿って適用され、正方形の形で不足し、かつそれを通約不能な線分に分けるならば、長い方は短い方に比べて、自身と長さにおいて通約不能な直線による正方形だけ大きく平方しうる。
ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
したがって、DMはMHに比べて、自身と通約不能な直線による正方形だけ大きく平方しうる。
καί εἰσιν αἱ ΔΜ, ΜΗ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΔΜ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ.
ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη·
そして、 DM, MHは平方においてのみ通約可能な有理直線であり、DMは与えられた有理直線DEと長さにおいて通約可能である。 したがって、DHは第四二名線である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop2.64τὸ ἀπὸ τῆς ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτην.
有理と中項の和を平方しうる線上の正方形を有理直線に沿って適用して作られる長方形の幅は、第五二名線を作る。
ἔστω ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰς εὐθείας κατὰ τὸ Γ, ὥστε μείζονα εἶναι τὴν ΑΓ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ·
ABをCにおいて直線に分けられた、有理と中項の和を平方しうる線とし、ACを大きい方とし、有理直線DEが与えられているとし、DEに沿って、AB上の正方形に等しい平行四辺形DZが適用され、幅DHを作るとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη.
私は言う、DHは第五二名線であると。
Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς πρὸ τούτου.
なぜなら、これより前のものと同様に作図せよ。
ἐπεὶ οὖν ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν.
そこで、ABはCにおいて分けられた、有理と中項の和を平方しうる線であるので、したがってAC, CBは平方において通約不能であり、それらの上の正方形の和を中項にし、それらによって囲まれる長方形を有理にする。
ἐπεὶ οὖν μέσον ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ·
そこで、AC, CB上の正方形の和は中項であるので、したがってDLも中項である。
ὥστε ῥητή ἐστιν ἡ ΔΜ καὶ μήκει ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ. πάλιν, ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΒ, τουτέστι τὸ ΜΖ, ῥητὴ ἄρα ἡ ΜΗ καὶ σύμμετρος τῇ ΔΕ. ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ·
したがって、DMは有理であり、DEと長さにおいて通約不能である。 再び、ACBによって囲まれる長方形の2倍すなわち MZは有理であるので、したがってMHは有理であり、DEと通約可能である。 したがって、DMはMHと通約不能である。
αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、DM, MHは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.
λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη.
したがって、DHは二名線である。 そこで、それが第五であることを言う。
ὁμοίως γὰρ δειχθήσεται, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ, καὶ ἀσύμμετρος ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ μήκει·
なぜなら、同様に、DK, KMによって囲まれる長方形はMN上の正方形に等しいこと、およびDKはKMと長さにおいて通約不能であることが示されるからである。
ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
したがって、DMはMHに比べて、自身と通約不能な直線による正方形だけ大きく平方しうる。
καί εἰσιν αἱ ΔΜ, ΜΗ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ἐλάσσων ἡ ΜΗ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
そして、DM, MHは平方においてのみ通約可能であり、小さい方の MHはDEと長さにおいて通約可能である。
ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη·
したがって、DHは第五二名線である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。