§10.prop2.61τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέραν.
第一二中項線上の正方形を有理直線に沿って適用して作られる長方形の幅は、第二二名線を作る。
ἔστω ἐκ δύο μέσων πρώτη ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰς μέσας κατὰ τὸ Γ, ὧν μείζων ἡ ΑΓ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΔΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ·
ABをCにおいて中項線に分けられた第一二中項線とし、それらのうち大きい方を ACとせよ。 そして有理直線DEが与えられているとし、DEに沿って、AB上の正方形に等しい平行四辺形DZが適用され、幅DHを作るとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα.
私は言う、DHは第二二名線であると。
Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρὸ τούτου.
なぜなら、これより前のものと同様に作図せよ。
καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι·
そして、ABはCにおいて分けられた第一二中項線であるので、したがってAC, CBは平方においてのみ通約可能であり有理な面積を囲む中項線である。
ὥστε καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσα ἐστίν.
したがって、AC, CB上の正方形もまた中項である。
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παραβέβληται·
したがって、それらの和であるDLも中項である。 そしてそれは有理直線DEに沿って適用されている。
ῥητὴ ἄρα ἐστίν ἡ ΜΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
したがって、MDは有理であり、DEと長さにおいて通約不能である。
πάλιν, ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ῥητόν ἐστι καὶ τὸ ΜΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΜΛ παράκειται·
再び、AC, CBによって囲まれる長方形の2倍は有理であるので、MZもまた有理である。 そしてそれは有理直線MLに沿って適用されている。
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΜΗ καὶ μήκει σύμμετρος τῇ ΜΛ, τουτέστι τῇ ΔΕ·
したがって、MHもまた有理であり、 MLすなわちDEと長さにおいて通約可能である。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ μήκει.
したがって、DMはMHと長さにおいて通約不能である。
καί εἰσι ῥηταί·
そしてそれらは有理である。
αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、DM, MHは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.
δεικτέον δή, ὅτι καὶ δευτέρα.
したがって、DHは二名線である。 そこで、それが第二であることを示すべきである。
ἐπεὶ γὰρ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ τοῦ ΜΖ· ὥστε καὶ ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΔΘ τῷ ΚΛ·
なぜなら、AC, CB上の正方形の和はAC, CBによって囲まれる長方形の2倍より大きいので、したがってDLもMZより大きく、したがってDMもMHより大きい。 そして、AC上の正方形はCB上の正方形と通約可能であるので、DΘもKLと通約可能である。
ὥστε καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ σύμμετρός ἐστιν.
したがって、DKもKMと通約可能である。
καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ·
そして、DK, KMによって囲まれる長方形はMN上の正方形に等しい。
ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
したがって、DMはMHに比べて、自身と通約可能な直線による正方形だけ大きく平方しうる。
καί ἐστιν ἡ ΜΗ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
そして、MHはDEと長さにおいて通約可能である。
ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα.
したがって、DHは第二二名線である。
§10.prop2.62τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτην.
第二二中項線上の正方形を有理直線に沿って適用して作られる長方形の幅は、第三二名線を作る。
ἔστω ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰς μέσας κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὸ μεῖζον τμῆμα εἶναι τὸ ΑΓ, ῥητὴ δέ τις ἔστω ἡ ΔΕ, καὶ παρὰ τὴν ΔΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ·
ABをCにおいて中項線に分けられた第二二中項線とし、大きい方の線分をACとせよ。 またDEをある有理直線とし、DEに沿って、AB上の正方形に等しい平行四辺形DZが適用され、幅DHを作るとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη.
私は言う、DHは第三二名線であると。
Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς προδεδειγμένοις.
なぜなら、すでに示されたものと同様に作図せよ。
καὶ ἐπεὶ ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι·
そして、ABはCにおいて分けられた第二二中項線であるので、したがってAC, CBは平方においてのみ通約可能であり中項の面積を囲む中項線である。
ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἐστίν.
したがって、AC, CB上の正方形の和もまた中項である。
καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΛ·
そしてそれはDLに等しい。
μέσον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ. καὶ παράκειται παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ·
したがってDLもまた中項である。 そしてそれは有理直線DEに沿って適用されている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
したがって、MDもまた有理であり、DEと長さにおいて通約不能である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΜΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΜΛ, τουτέστι τῇ ΔΕ, μήκει·
同じ理由によって、MHもまた有理であり、MLすなわちDEと長さにおいて通約不能である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
したがって、DM, MHの各々は有理であり、DEと長さにおいて通約不能である。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μήκει, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ. ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἀσύμμετρόν ἐστιν, τουτέστι τὸ ΔΛ τῷ ΜΖ·
そして、ACはCBと長さにおいて通約不能であり、ACがCBに対するように、AC上の正方形はAC, CBによって囲まれる長方形に対するので、したがってAC上の正方形もまた、AC, CBによって囲まれる長方形と通約不能である。 したがって、AC, CB上の正方形の和もまた、 AC, CBによって囲まれる長方形の2倍と通約不能であり、すなわちDLはMZと通約不能である。
ὥστε καὶ ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ ἀσύμμετρός ἐστιν.
したがって、DMもまたMHと通約不能である。
καί εἰσι ῥηταί·
そしてそれらは有理である。
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.
δεικτέον, ὅτι καὶ τρίτη.
したがって、DHは二名線である。 そこで、それが第三であることを示すべきである。
ὁμοίως δὴ τοῖς προτέροις ἐπιλογιούμεθα, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ, καὶ σύμμετρος ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ. καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ·
同様に、先の（命題の）ように、DMは MHより大きく、DKはKMと通約可能であることを推論する。 そして、DK, KMによって囲まれる長方形はMN上の正方形に等しい。
ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
したがって、DMはMHに比べて、自身と通約可能な直線による正方形だけ大きく平方しうる。
καὶ οὐδετέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΔΕ μήκει.
そして、DM, MHのどちらもDEと長さにおいて通約可能ではない。
ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη·
したがって、DHは第三二名線である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。