§10.prop2.63τὸ ἀπὸ τῆς μείζονος παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτην.
대선 위의 정사각형을 유리직선에 대어 작도하여 만들어지는 직사각형의 폭은 네 번째 이항선이 된다.
ἔστω μείζων ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε μείζονα εἶναι τὴν ΑΓ τῆς ΓΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ παραλληλόγραμμον πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ·
AB를 C에서 나누어지는 대선이라 하고, AC가 CB보다 크게 하라. 그리고 DE를 유리직선이라 하고, DE에 대어 AB 위의 정사각형과 같은 크기의 평행사변형 DZ를 대어 작도하여 폭 DH를 만들게 하라.
λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη.
나는 말한다, DH는 네 번째 이항선이라고.
Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς προδεδειγμένοις.
왜냐하면 이미 증명된 것과 같이 작도하라.
καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ ὑπʼ αὐτῶν μέσον.
그리고 AB는 C에서 나누어진 대선이므로, 그러므로 AC, CB는 제곱에서 통약할 수 없으며, 그들의 위의 정사각형들의 합을 유리넓이가 되게 하고, 그들에 의해 둘러싸인 직사각형을 중항넓이가 되게 한다.
ἐπεὶ οὖν ῥητόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ·
그러므로 AC, CB 위의 정사각형들의 합은 유리적이므로, 그러므로 DL도 유리적이다.
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΔΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
그러므로 DM도 유리이며 DE와 길이에서 통약할 수 있다.
πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ΜΖ, καὶ παρὰ ῥητήν ἐστι τὴν ΜΛ, ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει·
다시, AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배 즉 MZ는 중항넓이이고 유리직선 ML에 대어 작도되어 있으므로, 그러므로 MH도 유리이며 DE와 길이에서 통약할 수 없다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ μήκει.
그러므로 DM도 MH와 길이에서 통약할 수 없다.
αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 DM, MH는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이다.
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.
δεικτέον, ὅτι καὶ τετάρτη.
그러므로 DH는 이항선이다. 이제 그것이 네 번째 이항선이기도 함을 보여야 한다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν τοῖς πρότερον, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ, καὶ ὅτι τὸ ὑπὸ ΔΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ. ἐπεὶ οὖν ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΔΘ τῷ ΚΛ·
마찬가지로 앞의 경우들과 같이 우리는 DM이 MH보다 크고, DKM에 의해 둘러싸인 직사각형은 MN 위의 정사각형과 같음을 보일 것이다. 그러므로 AC 위의 정사각형은 CB 위의 정사각형과 통약할 수 없으므로, 그러므로 DΘ도 KL과 통약할 수 없다.
ὥστε ἀσύμμετρος καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ ἐστιν.
따라서 DK도 KM과 통약할 수 없다.
ἐὰν δὲ ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παραλληλόγραμμον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ, ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει·
만일 두 개의 서로 다른 직선들이 있고, 짧은 것 위의 정사각형의 4분의 1과 같은 평행사변형을 긴 것에 대어 작도하되 정사각형 모양이 부족하게 하고, 그것을 통약할 수 없는 부분들로 나눈다면, 긴 것은 짧은 것에 비해 자신과 길이에서 통약할 수 없는 직선의 정사각형만큼 더 많이 제곱할 수 있다.
ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 DM은 MH보다 자신과 통약할 수 없는 직선의 정사각형만큼 더 많이 제곱할 수 있다.
καί εἰσιν αἱ ΔΜ, ΜΗ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΔΜ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ.
ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη·
그리고 DM, MH는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이고, DM은 주어진 유리직선 DE와 길이에서 통약할 수 있다. 그러므로 DH는 네 번째 이항선이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§10.prop2.64τὸ ἀπὸ τῆς ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτην.
유리넓이와 중항넓이의 합을 제곱할 수 있는 선 위의 정사각형을 유리직선에 대어 작도하여 만들어지는 직사각형의 폭은 다섯 번째 이항선이 된다.
ἔστω ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰς εὐθείας κατὰ τὸ Γ, ὥστε μείζονα εἶναι τὴν ΑΓ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ·
AB를 C에서 직선들로 나누어지는 유리넓이와 중항넓이의 합을 제곱할 수 있는 선이라 하고, AC가 더 크게 하라. 그리고 유리직선 DE가 주어져 있다 하고, DE에 대어 AB 위의 정사각형과 같은 크기의 평행사변형 DZ를 대어 작도하여 폭 DH를 만들게 하라.
λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη.
나는 말한다, DH는 다섯 번째 이항선이라고.
Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς πρὸ τούτου.
왜냐하면 앞의 명제와 같이 작도하라.
ἐπεὶ οὖν ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν.
AB는 C에서 나누어진 유리넓이와 중항넓이의 합을 제곱할 수 있는 선이므로, 그러므로 AC, CB는 제곱에서 통약할 수 없으며, 그들의 위의 정사각형들의 합을 중항넓이가 되게 하고, 그들에 의해 둘러싸인 직사각형을 유리넓이가 되게 한다.
ἐπεὶ οὖν μέσον ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ·
그러므로 AC, CB 위의 정사각형들의 합은 중항넓이이므로, 그러므로 DL도 중항넓이이다.
ὥστε ῥητή ἐστιν ἡ ΔΜ καὶ μήκει ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ. πάλιν, ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΒ, τουτέστι τὸ ΜΖ, ῥητὴ ἄρα ἡ ΜΗ καὶ σύμμετρος τῇ ΔΕ. ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ·
따라서 DM은 유리이며 DE와 길이에서 통약할 수 없다. 다시, ACB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배 즉 MZ는 유리적이므로, 그러므로 MH는 유리이며 DE와 통약할 수 있다. 그러므로 DM은 MH와 통약할 수 없다.
αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 DM, MH는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이다.
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.
λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη.
그러므로 DH는 이항선이다. 이제 그것이 다섯 번째 이항선이기도 함을 보여야 한다.
ὁμοίως γὰρ δειχθήσεται, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ, καὶ ἀσύμμετρος ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ μήκει·
왜냐하면 마찬가지로 DKM에 의해 둘러싸인 직사각형은 MN 위의 정사각형과 같고, DK는 KM과 길이에서 통약할 수 없음이 증명될 것이기 때문이다.
ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 DM은 MH보다 자신과 통약할 수 없는 직선의 정사각형만큼 더 많이 제곱할 수 있다.
καί εἰσιν αἱ ΔΜ, ΜΗ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ἐλάσσων ἡ ΜΗ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
그리고 DM, MH는 제곱에서만 통약할 수 있으며, 더 짧은 선분인 MH는 DE와 길이에서 통약할 수 있다.
ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη·
그러므로 DH는 다섯 번째 이항선이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.