§10.prop2.61τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέραν.
在有理线上贴合由第一二中面线所围成的正方形，所得之宽是一条第二二名线。
ἔστω ἐκ δύο μέσων πρώτη ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰς μέσας κατὰ τὸ Γ, ὧν μείζων ἡ ΑΓ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΔΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ·
设AB为在C处被分成中面线的第一二中面线，其中较长的一项为 AC；并设有一条给定的有理线DE，且在DE上贴合一个等于AB之上的正方形的平行四边形DZ，产生宽为DH；我说，DH是第二二名线。
λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα. Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρὸ τούτου.
因为设作图与此前的命题相同。
καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι· ὥστε καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσα ἐστίν.
又因为AB是在C处被分成的第一二中面线，所以AC、CB是仅在平方上共测且围成有理面积的中面线；因此，AC、 CB之上的正方形也是中面积。
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παραβέβληται· ῥητὴ ἄρα ἐστίν ἡ ΜΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
所以DL也是中面积。 并且它贴合在有理线DE上；因此MD是有理的，且在长度上与DE不共测。
πάλιν, ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ῥητόν ἐστι καὶ τὸ ΜΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΜΛ παράκειται· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΜΗ καὶ μήκει σύμμετρος τῇ ΜΛ, τουτέστι τῇ ΔΕ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ μήκει.
再次，因为由AC、CB所围成的矩形的两倍是有理的，所以MZ也是有理的。 且它贴合在有理线ML上；因此MH也是有理的，且在长度上与ML即DE共测；因此DM在长度上与MH不共测。
καί εἰσι ῥηταί· αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.
δεικτέον δή, ὅτι καὶ δευτέρα.
且它们是有理的；因此DM、MH是仅在平方上共测的有理线；因此DH是一条二名线。 现在必须证明，它也是第二二名线。
ἐπεὶ γὰρ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ τοῦ ΜΖ· ὥστε καὶ ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΔΘ τῷ ΚΛ· ὥστε καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ σύμμετρός ἐστιν.
因为由AC、CB所围成的正方形之和大于由AC、CB所围成的矩形的两倍，所以DL也大于MZ；从而DM也大于MH。 又因为AC之上的正方形与CB之上的正方形共测，所以DΘ与KL也共测；从而DK与KM也共测。
καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ· ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
且由DK、KM所围成的矩形等于MN之上的正方形；因此DM在平方上大于MH，其差为与DM共测的线之上的正方形。
καί ἐστιν ἡ ΜΗ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
且MH在长度上与DE共测。
ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα.
因此DH是第二二名线。
§10.prop2.62τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτην.
在有理线上贴合由第二二中面线所围成的正方形，所得之宽是一条第三二名线。
ἔστω ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰς μέσας κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὸ μεῖζον τμῆμα εἶναι τὸ ΑΓ, ῥητὴ δέ τις ἔστω ἡ ΔΕ, καὶ παρὰ τὴν ΔΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ· λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη.
设AB为在C处被分成中面线的第二二中面线，使得较长的一段为AC；并设有一条有理线DE，且在DE上贴合一个等于AB之上的正方形的平行四边形DZ，产生宽为DH；我说，DH是第三二名线。
Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς προδεδειγμένοις.
因为设作图与此前证明的相同。
καὶ ἐπεὶ ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι· ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἐστίν.
又因为AB是在C处被分成的第二二中面线，所以AC、CB是仅在平方上共测且围成中面面积的中面线；因此，AC、CB之上的正方形之和也是中面积。
καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΛ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ. καὶ παράκειται παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ·
且它等于DL；因此DL也是中面积。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
并贴合在有理线DE上；因此MD也是有理的，且在长度上与DE不共测。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΜΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΜΛ, τουτέστι τῇ ΔΕ, μήκει· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
由于同样的原因，MH也是有理的，且在长度上与ML即DE不共测；因此DM、MH中的每一个都是有理的，且在长度上与DE不共测。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μήκει, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ. ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἀσύμμετρόν ἐστιν, τουτέστι τὸ ΔΛ τῷ ΜΖ· ὥστε καὶ ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ ἀσύμμετρός ἐστιν.
又因为AC在长度上与CB不共测，且正如AC对CB，AC之上的正方形也对由ACB所围成的矩形，所以AC之上的正方形与由ACB所围成的矩形也不共测。 因此AC、CB之上的正方形之和与由ACB所围成的矩形的两倍也不共测，即DL与MZ不共测；从而DM也与MH不共测。
καί εἰσι ῥηταί· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.
δεικτέον, ὅτι καὶ τρίτη.
且它们是有理的；因此DH是一条二名线。 现在必须证明，它也是第三二名线。
ὁμοίως δὴ τοῖς προτέροις ἐπιλογιούμεθα, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ, καὶ σύμμετρος ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ. καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ· ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
我们将同样地推论出，如同先前的命题，DM 大于MH，且DK与KM共测。 且由DK、KM所围成的矩形等于MN之上的正方形；因此DM在平方上大于MH，其差为与DM共测的线之上的正方形。
καὶ οὐδετέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΔΕ μήκει.
且DM、MH中没有一条在长度上与DE共测。
ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此DH是第三二名线；即所要求证的。