§10.prop2.60τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην.
二名線上の正方形を有理直線に沿って適用して作られる長方形の幅は、第一二名線を作る。
ἔστω ἐκ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΓ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΕΖΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ·
ABをCにおいて名に分けられた二名線とし、大きい方の名をACとせよ。 そして有理直線DEが与えられているとし、AB上の正方形に等しい長方形DEZHがDEに沿って適用され、幅DHを作る（適用されることによって幅DHができる）とせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη.
私は言う、DHは第一二名線であると。
παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΔΕ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον τὸ ΔΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἴσον τὸ ΚΛ·
なぜなら、DEに沿って、AC上の正方形に等しい長方形DΘが適用され、BC上の正方形に等しい長方形KLが適用されるとせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΖ. τετμήσθω ἡ ΜΗ δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ παράλληλος ἤχθω ἡ ΝΞ.
したがって、残りのAC, CBによって囲まれる長方形の2倍は、MZに等しい。 MHがNにおいて2等分され、平行線NXが引かれるとせよ。
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΜΞ, ΝΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ. καὶ ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、MX, NZの各々は、AC, CBによって囲まれる長方形の1倍に等しい。 そして、ABはCにおいて名に分けられた二名線であるので、したがってAC, CBは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ῥητά ἐστι καὶ σύμμετρα ἀλλήλοις·
したがって、AC, CB上の正方形は有理であり、かつ互いに通約可能である。
ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.
したがって、AC, CB上の正方形の和も同様である。
καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΛ·
そしてそれはDLに等しい。
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται·
したがってDLは有理である。 そしてそれは有理直線DEに沿って適用されている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
したがって、DMは有理であり、 DEと長さにおいて通約可能である。
πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ΜΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΜΛ παράκειται·
次に、AC, CBは平方においてのみ通約可能な有理直線であるので、したがってAC, CBによって囲まれる長方形の2倍、すなわちMZは中項である。 そしてそれは有理直線MLに沿って適用されている。
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΜΗ ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΜΛ, τουτέστι τῇ ΔΕ, μήκει.
したがって、MHも有理であり、MLすなわちDEと長さにおいて通約不能である。
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΜΔ ῥητὴ καὶ τῇ ΔΕ μήκει σύμμετρος·
そして、 MDも有理であり、DEと長さにおいて通約可能である。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ μήκει.
したがって、DMはMHと長さにおいて通約不能である。
καί εἰσι ῥηταί·
そしてそれらは有理である。
αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、DM, MHは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.
δεικτέον δή, ὅτι καὶ πρώτη.
したがってDHは二名線である。 そこで、それが第一であることを示すべきである。
ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ, καὶ τῶν ΔΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΜΞ. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΔΘ πρὸς τὸ ΜΞ, οὕτως τὸ ΜΞ πρὸς τὸ ΚΛ, τουτέστιν ὡς ἡ ΔΚ πρὸς τὴν ΜΝ, ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΜΚ·
AC, CB上の正方形の比例中項はAC, CBによって囲まれる長方形であるので、したがってDΘ, KLの比例中項もMXである。 したがって、DΘがMXに対するように、MXはKLに対しい、すなわちDKがMNに対するように、MNはMKに対する。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΔΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΔΘ τῷ ΚΛ·
したがって、DK, KMによって囲まれる長方形は、 MN上の正方形に等しい。 そして、AC上の正方形はCB上の正方形と通約可能であるので、DΘもKLと通約可能である。
ὥστε καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ σύμμετρός ἐστιν.
したがって、DKもKMと通約可能である。
καὶ ἐπεὶ μείζονά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ τοῦ ΜΖ·
そして、AC, CB上の正方形の和は、AC, CBによって囲まれる長方形の2倍より大きいので、したがってDLもMZより大きい。
ὥστε καὶ ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ μείζων ἐστίν.
したがって DMもMHより大きい。
καί ἐστιν ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚ, ΚΜ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΗ, καὶ σύμμετρος ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ. ἐὰν δὲ ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ, ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ·
そして、DK, KMによって囲まれる長方形は、MN上の正方形、すなわちMH上の正方形の4分の1に等しく、かつDKはKMと通約可能である。 「もし二つの不等な直線があり、短い方の上の正方形の4分の1に等しい面積が、長い方に沿って、正方形を欠く形で適用され、それを互いに通約可能な線分に分けるならば、長い方は短い方に比べて、自身と通約可能な直線による正方形だけ大きく平方しうる。
ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
」したがって、DMはMHに比べて、自身と通約可能な直線による正方形だけ大きく平方しうる。
καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΔΜ, ΜΗ, καὶ ἡ ΔΜ μεῖζον ὄνομα σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ μήκει.
そしてDM, MHは有理であり、かつ大きい方の名DMは与えられた有理直線 DEと長さにおいて通約可能である。
ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη·
したがって、DHは第一二名線である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。