§10.prop2.61τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέραν.
첫 번째 이중중항선 위의 정사각형을 유리직선에 대어 작도하여 만들어지는 직사각형의 폭은 두 번째 이항선이 된다.
ἔστω ἐκ δύο μέσων πρώτη ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰς μέσας κατὰ τὸ Γ, ὧν μείζων ἡ ΑΓ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΔΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ·
AB를 C에서 중항선들로 나누어지는 첫 번째 이중중항선이라 하고, 그중 더 큰 것을 AC라 하라. 그리고 유리직선 DE가 주어져 있다 하고, DE에 대어 AB 위의 정사각형과 같은 크기의 평행사변형 DZ를 대어 작도하여 폭 DH를 만들게 하라.
λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα.
나는 말한다, DH는 두 번째 이항선이라고.
Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρὸ τούτου.
왜냐하면 앞의 명제와 같이 작도하라.
καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι·
그리고 AB는 C에서 나누어지는 첫 번째 이중중항선이므로, 그러므로 AC, CB는 제곱에서만 통약할 수 있으며 유리넓이를 둘러싸는 중항선들이다.
ὥστε καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσα ἐστίν.
그러므로 AC, CB 위의 정사각형들도 중항넓이이다.
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παραβέβληται·
그러므로 DL도 중항넓이이다. 그리고 그것은 유리직선 DE에 대어 작도되어 있다.
ῥητὴ ἄρα ἐστίν ἡ ΜΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
그러므로 MD는 유리선이며 DE와 길이에서 통약할 수 없다.
πάλιν, ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ῥητόν ἐστι καὶ τὸ ΜΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΜΛ παράκειται·
다시, AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배는 유리적이므로, MZ도 유리적이다. 그리고 그것은 유리직선 ML에 대어 작도되어 있다.
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΜΗ καὶ μήκει σύμμετρος τῇ ΜΛ, τουτέστι τῇ ΔΕ·
그러므로 MH도 유리이며 ML 즉 DE와 길이에서 통약할 수 있다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ μήκει.
그러므로 DM은 MH와 길이에서 통약할 수 없다.
καί εἰσι ῥηταί·
그리고 그것들은 유리선들이다.
αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 DM, MH는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이다.
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.
δεικτέον δή, ὅτι καὶ δευτέρα.
그러므로 DH는 이항선이다.
ἐπεὶ γὰρ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ τοῦ ΜΖ· ὥστε καὶ ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΔΘ τῷ ΚΛ· ὥστε καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ σύμμετρός ἐστιν.
이제 그것이 두 번째 이항선이기도 함을 보여야 한다. 왜냐하면 AC, CB 위의 정사각형들의 합은 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배보다 크므로, 그러므로 DL도 MZ보다 크고, 따라서 DM도 MH보다 크다. 그리고 AC 위의 정사각형은 CB 위의 정사각형과 통약할 수 있으므로, DΘ도 KL과 통약할 수 있고, 따라서 DK도 KM과 통약할 수 있다.
καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ·
그리고 DK, KM에 의해 둘러싸인 직사각형은 MN 위의 정사각형과 같다.
ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 DM은 MH보다 자신과 통약할 수 있는 직선의 정사각형만큼 더 많이 제곱할 수 있다.
καί ἐστιν ἡ ΜΗ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
그리고 MH는 DE와 길이에서 통약할 수 있다.
ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα.
그러므로 DH는 두 번째 이항선이다.
§10.prop2.62τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτην.
두 번째 이중중항선 위의 정사각형을 유리직선에 대어 작도하여 만들어지는 직사각형의 폭은 세 번째 이항선이 된다.
ἔστω ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰς μέσας κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὸ μεῖζον τμῆμα εἶναι τὸ ΑΓ, ῥητὴ δέ τις ἔστω ἡ ΔΕ, καὶ παρὰ τὴν ΔΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ·
AB를 C에서 중항선들로 나누어지는 두 번째 이중중항선이라 하고, 더 큰 선분이 AC가 되게 하라. 또한 DE를 어떤 유리직선이라 하고, DE에 대어 AB 위의 정사각형과 같은 크기의 평행사변형 DZ를 대어 작도하여 폭 DH를 만들게 하라.
λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη.
나는 말한다, DH는 세 번째 이항선이라고.
Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς προδεδειγμένοις.
왜냐하면 이미 증명된 것과 같이 작도하라.
καὶ ἐπεὶ ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι·
그리고 AB는 C에서 나누어지는 두 번째 이중중항선이므로, 그러므로 AC, CB는 제곱에서만 통약할 수 있으며 중항넓이를 둘러싸는 중항선들이다.
ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἐστίν.
그러므로 AC, CB 위의 정사각형들의 합도 중항넓이이다.
καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΛ·
그리고 그것은 DL과 같다.
μέσον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ. καὶ παράκειται παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ·
그러므로 DL도 중항넓이이다. 그리고 그것은 유리직선 DE에 대어 작도되어 있다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
그러므로 MD도 유리이며 DE와 길이에서 통약할 수 없다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΜΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΜΛ, τουτέστι τῇ ΔΕ, μήκει·
같은 이유로 MH도 유리이며 ML 즉 DE와 길이에서 통약할 수 없다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
그러므로 DM, MH 각각은 유리선이며 DE와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μήκει, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ. ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἀσύμμετρόν ἐστιν, τουτέστι τὸ ΔΛ τῷ ΜΖ·
그리고 AC는 CB와 길이에서 통약할 수 없고, AC가 CB에 대한 비는 AC 위의 정사각형이 ACB에 의해 둘러싸인 직사각형에 대한 비와 같으므로, 그러므로 AC 위의 정사각형도 ACB에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없다. 따라서 AC, CB 위의 정사각형들의 합도 ACB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 통약할 수 없으며, 즉 DL은 MZ와 통약할 수 없다.
ὥστε καὶ ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ ἀσύμμετρός ἐστιν.
그러므로 DM도 MH와 통약할 수 없다.
καί εἰσι ῥηταί·
그리고 그것들은 유리선들이다.
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.
δεικτέον, ὅτι καὶ τρίτη.
그러므로 DH는 이항선이다. 이제 그것이 세 번째 이항선이기도 함을 보여야 한다.
ὁμοίως δὴ τοῖς προτέροις ἐπιλογιούμεθα, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ, καὶ σύμμετρος ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ. καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ·
앞의 경우들과 마찬가지로 우리는 DM이 MH보다 크고, DK는 KM과 통약할 수 있다고 추론할 것이다. 그리고 DK, KM에 의해 둘러싸인 직사각형은 MN 위의 정사각형과 같다.
ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 DM은 MH보다 자신과 통약할 수 있는 직선의 정사각형만큼 더 많이 제곱할 수 있다.
καὶ οὐδετέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΔΕ μήκει.
그리고 DM, MH 어느 것도 DE와 길이에서 통약할 수 없다.
ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη·
그러므로 DH는 세 번째 이항선이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.