§10.prop2.60τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην.
이항선 위의 정사각형을 유리직선에 대어 작도하여 만들어지는 직사각형의 폭은 첫 번째 이항선이 된다.
ἔστω ἐκ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΓ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΕΖΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ·
AB를 C에서 항들로 나누어지는 이항선이라 하고, 더 큰 항이 AC가 되게 하라. 그리고 유리직선 DE가 주어져 있다 하고, AB 위의 정사각형과 같은 크기의 직사각형 DEZH를 DE에 대어 작도하여 폭 DH를 만들게 하라.
λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη.
나는 말한다, DH는 첫 번째 이항선이라고.
παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΔΕ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον τὸ ΔΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἴσον τὸ ΚΛ·
왜냐하면 DE에 대어, AC 위의 정사각형과 같은 직사각형 DΘ가 적용되고, BC 위의 정사각형과 같은 직사각형 KL이 적용된다고 하라.
λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΖ. τετμήσθω ἡ ΜΗ δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ παράλληλος ἤχθω ἡ ΝΞ.
그러므로 남은 부분인 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배는 MZ와 같다. MH가 N에서 이등분되고, 평행선 NX가 그려진다고 하라.
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΜΞ, ΝΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ. καὶ ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 MX, NZ 각각은 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형의 한 배와 같다. 그리고 AB는 C에서 항들로 나누어지는 이항선이므로, 그러므로 AC, CB는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ῥητά ἐστι καὶ σύμμετρα ἀλλήλοις·
그러므로 AC, CB 위의 정사각형들은 유리이며 또한 서로 통약할 수 있다.
ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.
따라서 AC, CB 위의 정사각형들의 합도 그러하다.
καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΛ·
그리고 이것은 DL과 같다.
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται·
그러므로 DL은 유리이다. 그리고 그것은 유리직선 DE에 대어 작도되어 있다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
그러므로 DM은 유리이며 DE와 길이에서 통약할 수 있다.
πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ΜΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΜΛ παράκειται·
다시, AC, CB는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이므로, 그러므로 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배, 즉 MZ는 중항넓이이다. 그리고 그것은 유리직선 ML에 대어 작도되어 있다.
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΜΗ ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΜΛ, τουτέστι τῇ ΔΕ, μήκει.
그러므로 MH도 유리이며 ML 즉 DE와 길이에서 통약할 수 없다.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΜΔ ῥητὴ καὶ τῇ ΔΕ μήκει σύμμετρος·
그리고 MD도 유리이며 DE와 길이에서 통약할 수 있다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ μήκει.
그러므로 DM은 MH와 길이에서 통약할 수 없다.
καί εἰσι ῥηταί·
그리고 그것들은 유리이다.
αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 DM, MH는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이다.
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.
δεικτέον δή, ὅτι καὶ πρώτη.
그러므로 DH는 이항선이다. 이제 그것이 첫 번째 이항선이기도 함을 보여야 한다.
ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ, καὶ τῶν ΔΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΜΞ. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΔΘ πρὸς τὸ ΜΞ, οὕτως τὸ ΜΞ πρὸς τὸ ΚΛ, τουτέστιν ὡς ἡ ΔΚ πρὸς τὴν ΜΝ, ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΜΚ·
AC, CB 위의 정사각형들의 비례중항은 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형이므로, 그러므로 DΘ, KL의 비례중항도 MX이다. 그러므로 DΘ가 MX에 대한 비는 MX가 KL에 대한 비와 같고, 즉 DK가 MN에 대한 비는 MN이 MK에 대한 비와 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΔΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΔΘ τῷ ΚΛ·
그러므로 DK, KM에 의해 둘러싸인 직사각형은 MN 위의 정사각형과 같다. 그리고 AC 위의 정사각형은 CB 위의 정사각형과 통약할 수 있으므로, DΘ도 KL과 통약할 수 있다.
ὥστε καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ σύμμετρός ἐστιν.
그러므로 DK도 KM과 통약할 수 있다.
καὶ ἐπεὶ μείζονά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ τοῦ ΜΖ·
그리고 AC, CB 위의 정사각형들의 합은 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배보다 크므로, 그러므로 DL도 MZ보다 크다.
ὥστε καὶ ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ μείζων ἐστίν.
그러므로 DM도 MH보다 크다.
καί ἐστιν ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚ, ΚΜ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΗ, καὶ σύμμετρος ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ. ἐὰν δὲ ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ, ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ·
그리고 DK, KM에 의해 둘러싸인 직사각형은 MN 위의 정사각형, 즉 MH 위의 정사각형의 4분의 1과 같고, 또한 DK는 KM과 통약할 수 있다. 만약 서로 같지 않은 두 직선이 있고, 더 작은 직선 위의 정사각형의 4분의 1과 같은 넓이가 더 큰 직선에 대어 작도되어 정사각형 모양이 부족하게 붙여지며 그것을 통약할 수 있는 선분들로 나눈다면, 더 큰 직선은 더 작은 직선보다 자신과 통약할 수 있는 직선의 정사각형만큼 더 많이 제곱할 수 있다.
ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 DM은 MH보다 자신과 통약할 수 있는 직선의 정사각형만큼 더 많이 제곱할 수 있다.
καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΔΜ, ΜΗ, καὶ ἡ ΔΜ μεῖζον ὄνομα σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ μήκει.
그리고 DM, MH는 유리선들이고, 더 큰 항인 DM은 주어진 유리직선 DE와 길이에서 통약할 수 있다.
ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη·
그러므로 DH는 첫 번째 이항선이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.