§10.prop2.54ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων.
もし面積が有理直線と第一二名直線によって囲まれているならば、その面積を平方する直線は無理直線であり、二名線と呼ばれるものである。
χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτης τῆς ΑΔ·
なぜなら、面積ACが有理直線AB と第一二名直線ADによって囲まれているとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων.
私は言う、面積ACを平方する直線は無理直線であり、二名線と呼ばれるものであると。
ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη ἡ ΑΔ, διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἔστω τὸ μεῖζον ὄνομα τὸ ΑΕ. φανερὸν δή, ὅτι αἱ ΑΕ, ΕΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΑΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΒ μήκει.
なぜなら、ADは第一二名直線であるので、Eにおいて名に分けられよ。 そして、より大きい方の名をAEとせよ。 したがって、AE, EDは平方においてのみ通約可能な有理直線であり、AEはEDより自身と長さにおいて通約可能な直線による平方だけ勝り、AEは設定された有理直線ABと長さにおいて通約可能であることは明らかである。
τετμήσθω δὴ ἡ ΕΔ δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον.
今や、EDが点Zにおいて二等分されよ。
καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ, ἴσον παρὰ τὴν μείζονα τὴν ΑΕ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ.
そして、AEはEDより自身と通約可能な直線による平方だけ勝つので、したがって、もしより小さい方の平方の四分の一、すなわちEZの上の正方形に等しいものが、より大きい方AEに沿って、正方形の形で不足するように適用されるならば、それはAEを通約可能な部分に分割する。
παραβεβλήσθω οὖν παρὰ τὴν ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΗ, ΗΕ·
したがって、AEに沿って、EZの上の正方形に等しい AH, HEによって囲まれる長方形が適用されよ。
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΕΗ μήκει.
したがって、AHはEHと長さにおいて通約可能である。
καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Η, Ε, Ζ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ παράλληλοι αἱ ΗΘ, ΕΚ, ΖΛ·
そして、H, E, Zから、AB, CDのいずれか一方に平行な直線HT, EK, ZLが引かれよ。
καὶ τῷ μὲν ΑΘ παραλληλογράμμῳ ἴσον τετράγωνον συνεστάτω τὸ ΣΝ, τῷ δὲ ΗΚ ἴσον τὸ ΝΠ, καὶ κείσθω ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΜΝ τῇ ΝΞ·
そして、平行四辺形ATに等しい正方形SNが作られ、HKに等しい正方形NPが作られ、MNが NXと一直線上にあるように配置せよ。
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΡΝ τῇ ΝΟ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΣΠ παραλληλόγραμμον·
したがって、RNもNOと一直線上にある。 そして、平行四辺形SPが完成されよ。
τετράγωνον ἄρα ἐστὶ τὸ ΣΠ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΕΖ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ·
したがって、SPは正方形である。 そして、AH, HEによって囲まれる長方形はEZの上の正方形に等しいので、したがって、AHがEZに対するように、ZEがEHに対する。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΘ πρὸς ΕΛ, τὸ ΕΛ πρὸς ΚΗ·
したがってまた、ATが ELに対するように、ELがKHに対する。
τῶν ΑΘ, ΗΚ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΛ. ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΝ, τὸ δὲ ΗΚ ἴσον τῷ ΝΠ·
したがって、AT, HKの比例中項はELである。 しかし、ATはSNに等しく、HKはNPに等しい。
τῶν ΣΝ, ΝΠ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΛ. ἔστι δὲ τῶν αὐτῶν τῶν ΣΝ, ΝΠ μέσον ἀνάλογον καὶ τὸ ΜΡ·
したがって、SN, NPの比例中項はELである。 しかし、同じSN, NPの比例中項はMPでもある。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΛ τῷ ΜΡ·
したがって、ELは MPに等しい。
ὥστε καὶ τῷ ΟΞ ἴσον ἐστίν.
それゆえ、OXにも等しい。
ἔστι δὲ καὶ τὰ ΑΘ, ΗΚ τοῖς ΣΝ, ΝΠ ἴσα·
しかし、AT, HKもSN, NPに等しい。
ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν ὅλῳ τῷ ΣΠ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΜΞ τετραγώνῳ·
したがって、全体ACは全体SPに、すなわちMXの上の正方形に等しい。
τὸ ΑΓ ἄρα δύναται ἡ ΜΞ.
λέγω, ὅτι ἡ ΜΞ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν.
したがって、MXはACを平方する。 私は、MXは二名線であると言う。
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ, σύμμετρός ἐστι καὶ ἡ ΑΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΗ, ΗΕ. ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ σύμμετρος·
なぜなら、AHはHEと通約可能であるので、AEもAH, HEのそれぞれと通約可能だからである。 しかし、AEはABと通約可能であるとも仮定されている。
καὶ αἱ ΑΗ, ΗΕ ἄρα τῇ ΑΒ σύμμετροί εἰσιν.
したがって、AH, HEもABと通約可能である。
καί ἐστι ῥητὴ ἡ ΑΒ·
そして、ABは有理直線である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΗ, ΗΕ·
したがって、AH, HEのそれぞれも有理直線である。
ῥητὸν ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΘ, ΗΚ, καί ἐστι σύμμετρον τὸ ΑΘ τῷ ΗΚ. ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΘ τῷ ΣΝ ἴσον ἐστίν, τὸ δὲ ΗΚ τῷ ΝΠ·
したがって、AT, HKのそれぞれも有理であり、ATはHKと通約可能である。 しかし、ATはSNに等しく、HKはNPに等しい。
καὶ τὰ ΣΝ, ΝΠ ἄρα, τουτέστι τὰ ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ, ῥητά ἐστι καὶ σύμμετρα.
したがって、SN, NPも、すなわちMN, NXの上の正方形も、有理であり、かつ通約可能である。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει, ἀλλʼ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΑΗ ἐστι σύμμετρος, ἡ δὲ ΔΕ τῇ ΕΖ σύμμετρος, ἀσύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΗ τῇ ΕΖ·
そして、AEはEDと長さにおいて通約不能であるが、AEはAHに通約可能であり、DEはEZに通約可能であるので、したがって、AHもEZと通約不能である。
ὥστε καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΕΛ ἀσύμμετρόν ἐστιν.
したがって、ATもELと通約不能である。
ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΘ τῷ ΣΝ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΕΛ τῷ ΜΡ·
しかし、ATはSNに等しく、ELはMPに等しい。
καὶ τὸ ΣΝ ἄρα τῷ ΜΡ ἀσύμμετρόν ἐστιν.
したがって、SNもMPと通約不能である。
ἀλλʼ ὡς τὸ ΣΝ πρὸς ΜΡ, ἡ ΟΝ πρὸς τὴν ΝΡ·
しかし、SNがMPに対するように、ONがNPに対する。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΝ τῇ ΝΡ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΟΝ τῇ ΜΝ, ἡ δὲ ΝΡ τῇ ΝΞ·
したがって、 ONはNPと通約不能である。 しかし、ONはMNに等しく、NPはNXに等しい。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΝ τῇ ΝΞ. καί ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ σύμμετρον τῷ ἀπὸ τῆς ΝΞ, καὶ ῥητὸν ἑκάτερον·
したがって、MNはNXと通約不能である。 そして、MNの上の正方形はNXの上の正方形と通約可能であり、それぞれは有理である。
αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
したがって、MN, NXは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
ἡ ΜΞ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ δύναται τὸ ΑΓ·
したがって、MXは二名線であり、ACを平方する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。