§10.prop2.54ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων.
만약 넓이가 유리직선과 첫 번째 이항선에 의해 둘러싸여 있다면, 그 넓이를 제곱하는 직선은 무리직선이며, 이른바 이항선이라 불리는 것이다.
χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτης τῆς ΑΔ·
왜냐하면 넓이 AC가 유리직선 AB 와 첫 번째 이항선 AD에 의해 둘러싸여 있다고 하라.
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων.
나는 말한다, 넓이 AC를 제곱하는 직선은 무리직선이며 이른바 이항선이라 불리는 것이라고.
ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη ἡ ΑΔ, διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἔστω τὸ μεῖζον ὄνομα τὸ ΑΕ. φανερὸν δή, ὅτι αἱ ΑΕ, ΕΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΑΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΒ μήκει.
왜냐하면 AD는 첫 번째 이항선이므로, E에서 항들로 나누어지게 하고, 더 큰 항을 AE라고 하라. 그러므로 AE, ED는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이며, AE는 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 ED보다 제곱에서 더 크고, AE는 설정된 유리직선 AB와 길이에서 통약할 수 있음이 분명하다.
τετμήσθω δὴ ἡ ΕΔ δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον.
이제 ED가 점 Z에서 이등분되게 하라.
καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ, ἴσον παρὰ τὴν μείζονα τὴν ΑΕ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ.
그리고 AE는 자신과 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 ED보다 제곱에서 더 크므로, 그러므로 만약 더 작은 항의 정사각형의 4분의 1, 즉 EZ 위의 정사각형과 같은 넓이가 더 큰 항 AE에 따라 정사각형 모양으로 부족하게 적용된다면, 그것은 AE를 자신과 통약할 수 있는 부분들로 나눈다.
παραβεβλήσθω οὖν παρὰ τὴν ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΗ, ΗΕ·
그러므로 AE에 따라 EZ 위의 정사각형과 같은, AH, HE에 의해 둘러싸인 직사각형이 적용되게 하라.
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΕΗ μήκει.
그러므로 AH는 EH와 길이에서 통약할 수 있다.
καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Η, Ε, Ζ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ παράλληλοι αἱ ΗΘ, ΕΚ, ΖΛ·
그리고 H, E, Z로부터 AB, CD 중 어느 하나와 평행한 직선들 HT, EK, ZL이 그어지게 하라.
καὶ τῷ μὲν ΑΘ παραλληλογράμμῳ ἴσον τετράγωνον συνεστάτω τὸ ΣΝ, τῷ δὲ ΗΚ ἴσον τὸ ΝΠ, καὶ κείσθω ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΜΝ τῇ ΝΞ·
그리고 평행사변형 AT와 같은 정사각형 SN을 작도하고, HK와 같은 정사각형 NP를 작도하며, MN이 NX와 일직선상에 있도록 놓이게 하라.
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΡΝ τῇ ΝΟ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΣΠ παραλληλόγραμμον·
그러므로 RN도 NO와 일직선상에 있다. 그리고 평행사변형 SP가 완성되게 하라.
τετράγωνον ἄρα ἐστὶ τὸ ΣΠ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΕΖ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ·
그러므로 SP는 정사각형이다. 그리고 AH, HE에 의해 둘러싸인 직사각형은 EZ 위의 정사각형과 같으므로, 그러므로 AH가 EZ에 대하는 것과 같이 ZE가 EH에 대한다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΘ πρὸς ΕΛ, τὸ ΕΛ πρὸς ΚΗ·
그러므로 또한 AT가 EL에 대하는 것과 같이 EL이 KH에 대한다.
τῶν ΑΘ, ΗΚ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΛ. ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΝ, τὸ δὲ ΗΚ ἴσον τῷ ΝΠ·
그러므로 AT, HK의 비례중항은 EL이다. 그런데 AT는 SN과 같고, HK는 NP와 같으므로, SN, NP의 비례중항은 EL이다.
τῶν ΣΝ, ΝΠ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΛ. ἔστι δὲ τῶν αὐτῶν τῶν ΣΝ, ΝΠ μέσον ἀνάλογον καὶ τὸ ΜΡ·
그런데 같은 SN, NP의 비례중항은 MP이기도 하다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΛ τῷ ΜΡ·
그러므로 EL은 MP와 같다.
ὥστε καὶ τῷ ΟΞ ἴσον ἐστίν.
따라서 OX와도 같다.
ἔστι δὲ καὶ τὰ ΑΘ, ΗΚ τοῖς ΣΝ, ΝΠ ἴσα·
그런데 AT, HK도 SN, NP와 같다.
ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν ὅλῳ τῷ ΣΠ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΜΞ τετραγώνῳ·
그러므로 전체 AC는 전체 SP와 같고, 즉 MX 위의 정사각형과 같다.
τὸ ΑΓ ἄρα δύναται ἡ ΜΞ.
λέγω, ὅτι ἡ ΜΞ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν.
그러므로 MX는 AC를 제곱하는 직선이다. 나는 말한다, MX는 이항선이라고.
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ, σύμμετρός ἐστι καὶ ἡ ΑΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΗ, ΗΕ. ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ σύμμετρος·
왜냐하면 AH는 HE와 통약할 수 있으므로, AE도 AH, HE 각각과 통약할 수 있기 때문이다. 그런데 AE는 AB와 통약할 수 있다고 가정되기도 했다.
καὶ αἱ ΑΗ, ΗΕ ἄρα τῇ ΑΒ σύμμετροί εἰσιν.
그러므로 AH, HE도 AB와 통약할 수 있다.
καί ἐστι ῥητὴ ἡ ΑΒ·
그리고 AB는 유리직선이다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΗ, ΗΕ·
그러므로 AH, HE 각각도 유리직선이다.
ῥητὸν ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΘ, ΗΚ, καί ἐστι σύμμετρον τὸ ΑΘ τῷ ΗΚ. ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΘ τῷ ΣΝ ἴσον ἐστίν, τὸ δὲ ΗΚ τῷ ΝΠ·
그러므로 AT, HK 각각도 유리직선이며, AT는 HK와 통약할 수 있다.
καὶ τὰ ΣΝ, ΝΠ ἄρα, τουτέστι τὰ ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ, ῥητά ἐστι καὶ σύμμετρα.
그런데 AT는 SN과 같고, HK는 NP와 같으므로, SN, NP도, 즉 MN, NX 위의 정사각형들도 유리이고 통약할 수 있다.
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει, ἀλλʼ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΑΗ ἐστι σύμμετρος, ἡ δὲ ΔΕ τῇ ΕΖ σύμμετρος, ἀσύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΗ τῇ ΕΖ·
그리고 AE는 ED와 길이에서 통약할 수 없는데, AE는 AH와 통약할 수 있고 DE는 EZ와 통약할 수 있으므로, 그러므로 AH도 EZ와 통약할 수 없다.
ὥστε καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΕΛ ἀσύμμετρόν ἐστιν.
그러므로 AT도 EL과 통약할 수 없다.
ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΘ τῷ ΣΝ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΕΛ τῷ ΜΡ· καὶ τὸ ΣΝ ἄρα τῷ ΜΡ ἀσύμμετρόν ἐστιν.
그런데 AT는 SN과 같고, EL은 MP와 같으므로, SN도 MP와 통약할 수 없다.
ἀλλʼ ὡς τὸ ΣΝ πρὸς ΜΡ, ἡ ΟΝ πρὸς τὴν ΝΡ·
그런데 SN이 MP에 대하는 것과 같이 ON이 NP에 대한다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΝ τῇ ΝΡ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΟΝ τῇ ΜΝ, ἡ δὲ ΝΡ τῇ ΝΞ·
그러므로 ON은 NP와 통약할 수 없다. 그런데 ON은 MN과 같고, NP는 NX와 같으므로, MN은 NX와 통약할 수 없다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΝ τῇ ΝΞ. καί ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ σύμμετρον τῷ ἀπὸ τῆς ΝΞ, καὶ ῥητὸν ἑκάτερον·
그리고 MN 위의 정사각형은 NX 위의 정사각형과 통약할 수 있고, 각각은 유리이다.
αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러므로 MN, NX는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이다.
ἡ ΜΞ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ δύναται τὸ ΑΓ·
그러므로 MX는 이항선이며 AC를 제곱하는 직선이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.