§10.prop2.53#2ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ ΖΗ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΗΘ, Κ·
したがって、ZHの上の正方形に、HT, Kの上の正方形が等しいとせよ。
ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、比の反転により、ABがBCに対するように、ZHの上の正方形がKの上の正方形に対する。 しかし、ABはBCに対して、平方数と平方数との比をもたない。
ὥστε οὐδὲ τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
したがって、ZHの上の正方形もKの上の正方形に対して、平方数と平方数との比をもたない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει·
したがって、ZHはKと長さにおいて通約不能である。
ἡ ΖΗ ἄρα τῆς ΗΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
したがって、ZHは自身と通約不能な直線によって、HTより平方において勝る。
καί εἰσιν αἱ ΖΗ, ΗΘ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Ε.
ἡ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη·
そして、 ZH, HTは平方においてのみ通約可能な有理直線であり、それらのいずれも、設定された有理直線Eと長さにおいて通約可能ではない。 したがって、ZTは第六二名線である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
λῆμμα
ἔστω δύο τετράγωνα τὰ ΑΒ, ΒΓ καὶ κείσθωσαν ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΔΒ τῇ ΒΕ·
補題二つの平方AB, BCがあり、DBがBEと一直線上にあるように配置せよ。
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΒΗ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον·
したがって、ZBもBHと一直線上にある。 そして、平行四辺形ACが完成されよ。
λέγω, ὅτι τετράγωνόν ἐστι τὸ ΑΓ, καὶ ὅτι τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΗ, καὶ ἔτι τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΓ.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΒΗ, ὅλη ἄρα ἡ ΔΕ ὅλῃ τῇ ΖΗ ἐστιν ἴση.
私は言う、ACは正方形であり、 AB, BCの比例中項はDHであり、さらにAC, CBの比例中項はDCである。 なぜなら、DBはBZに等しく、BEはBHに等しいので、したがって全体DEは全体ZHに等しいからである。
ἀλλʼ ἡ μὲν ΔΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΘ, ΚΓ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΖΗ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΚ, ΘΓ ἐστιν ἴση·
しかし、 DEはAT, KCのそれぞれに等しく、ZHはAK, TCのそれぞれに等しい。
καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΘ, ΚΓ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΚ, ΘΓ ἐστιν ἴση.
したがって、AT, KCのそれぞれもAK, TCのそれぞれに等しい。
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον·
したがって、平行四辺形ACは等辺である。
ἔστι δὲ καὶ ὀρθογώνιον·
そしてまた直角である。
τετράγωνον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΗ, ὡς δὲ ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὸ ΔΗ πρὸς τὸ ΒΓ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΗ, οὕτως τὸ ΔΗ πρὸς τὸ ΒΓ. τῶν ΑΒ, ΒΓ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΗ.
λέγω δή, ὅτι καὶ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἀνάλογόν τὸ ΔΓ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΚ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΓ·
したがって、ACは正方形である。 そして、ZBがBHに対するように、DBがBEに対するが、ZBがBHに対するように、ABがDHに対するのに対し、DBがBEに対するように、DHがBCに対するので、したがってまたABがDHに対するように、DHがBCに対する。 したがって、AB, BCの比例中項は DHである。 今や、私は、AC, CBの比例中項もDCであると言う。
ἴση γάρ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΔ, οὕτως ἡ ΚΓ πρὸς ΓΗ, ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΚ πρὸς ΚΔ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΔ, ὡς δὲ ἡ ΚΓ πρὸς ΓΗ, οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς ΓΒ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΓ πρὸς ΔΓ, οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΒΓ. τῶν ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΓ·
なぜなら、ADがDKに対するように、KHがHCに対するからであり（なぜなら、それぞれはそれぞれに等しいから）、比の合成により、AKがKDに対するように、KCがCHに対するが、AKがKDに対するように、ACがCDに対するのに対し、KCがCHに対するように、DCがCBに対する。 したがってまた、ACがDCに対するように、DCがBCに対する。 したがって、AC, CBの比例中項はDCである。
ἃ προέκειτο δεῖξαι.
これが、示すように企てられていたことであった。