§10.prop2.53#2ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ ΖΗ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΗΘ, Κ·
그러므로 ZH 위의 정사각형에 HT, K 위의 정사각형들이 같다고 하라.
ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 비율의 반전에 의해, AB가 BC에 대하는 것과 같이, ZH 위의 정사각형이 K 위의 정사각형에 대한다. 그런데 AB는 BC에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않는다.
ὥστε οὐδὲ τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
따라서 ZH 위의 정사각형도 K 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει·
그러므로 ZH는 K와 길이에서 통약할 수 없다.
ἡ ΖΗ ἄρα τῆς ΗΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 ZH는 자신과 길이에서 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 HT보다 제곱에서 더 크다.
καί εἰσιν αἱ ΖΗ, ΗΘ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Ε.
ἡ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη·
그리고 ZH, HT는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이며, 그것들 중 어느 것도 설정된 유리직선 E와 길이에서 통약할 수 없다. 그러므로 ZT는 여섯 번째 이항선이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
λῆμμα
ἔστω δύο τετράγωνα τὰ ΑΒ, ΒΓ καὶ κείσθωσαν ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΔΒ τῇ ΒΕ·
보조정리 두 정사각형 AB, BC가 있고, DB가 BE와 일직선상에 있도록 놓이게 하라.
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΒΗ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον·
그러므로 ZB도 BH와 일직선상에 있다. 그리고 평행사변형 AC를 완성하라.
λέγω, ὅτι τετράγωνόν ἐστι τὸ ΑΓ, καὶ ὅτι τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΗ, καὶ ἔτι τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΓ.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΒΗ, ὅλη ἄρα ἡ ΔΕ ὅλῃ τῇ ΖΗ ἐστιν ἴση.
나는 말한다, AC는 정사각형이고, AB, BC의 비례중항은 DH이며, 나아가 AC, CB의 비례중항은 DC이다. 왜냐하면 DB는 BZ와 같고, BE는 BH와 같으므로, 전체 DE는 전체 ZH와 같기 때문이다.
ἀλλʼ ἡ μὲν ΔΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΘ, ΚΓ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΖΗ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΚ, ΘΓ ἐστιν ἴση·
그런데 DE는 AT, KC 각각과 같고, ZH는 AK, TC 각각과 같다.
καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΘ, ΚΓ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΚ, ΘΓ ἐστιν ἴση.
그러므로 AT, KC 각각도 AK, TC 각각과 같다.
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον·
그러므로 평행사변형 AC는 등변이다.
ἔστι δὲ καὶ ὀρθογώνιον·
그리고 그것은 또한 직각이다.
τετράγωνον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΗ, ὡς δὲ ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὸ ΔΗ πρὸς τὸ ΒΓ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΗ, οὕτως τὸ ΔΗ πρὸς τὸ ΒΓ. τῶν ΑΒ, ΒΓ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΗ.
λέγω δή, ὅτι καὶ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἀνάλογόν τὸ ΔΓ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΚ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΓ·
그러므로 AC는 정사각형이다. 그리고 ZB가 BH에 대하는 것과 같이 DB가 BE에 대하는데, ZB가 BH에 대하는 것과 같이 AB가 DH에 대하고, DB가 BE에 대하는 것과 같이 DH가 BC에 대하므로, 그러므로 또한 AB가 DH에 대하는 것과 같이 DH가 BC에 대한다. 그러므로 AB, BC의 비례중항은 DH이다. 이제 나는 AC, CB의 비례중항도 DC라고 말한다.
ἴση γάρ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΔ, οὕτως ἡ ΚΓ πρὸς ΓΗ, ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΚ πρὸς ΚΔ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΔ, ὡς δὲ ἡ ΚΓ πρὸς ΓΗ, οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς ΓΒ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΓ πρὸς ΔΓ, οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΒΓ. τῶν ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΓ·
왜냐하면 AD가 DK에 대하는 것과 같이 KH가 HC에 대하기 때문이며(왜냐하면 각각은 각각과 같으므로), 더하기에 의해, AK가 KD에 대하는 것과 같이 KC가 CH에 대하는데, AK가 KD에 대하는 것과 같이 AC가 CD에 대하고, KC가 CH에 대하는 것과 같이 DC가 CB에 대하므로, 그러므로 또한 AC가 DC에 대하는 것과 같이 DC가 BC에 대한다. 그러므로 AC, CB의 비례중항은 DC이다.
ἃ προέκειτο δεῖξαι.
이것이 증명하고자 제안되었던 바이다.